Sur l'évaluation approchée des intégrales définies simples. 49 

 ou, en multipliant les deux membres par e~'^\ 



(311) 2im-7i)e-^'H,„{x)H,Xx)=^-^\e-'^'-{H^(x-)H',ix)-H„(x)H'„,(x)) 

 et par suite, en intégrant entre les linriites x =^ — oo et *■ = c» , 



(3 1 2) (m _ h) r e-^' H„, {x) ff„ {x) dw = . 



Sous la supposition, que les nombres entiers m et n soient diffé- 

 rents entre eux, nous conclurons de l'équation (312) 



(313) f e-^-H„,{x)H„{x)dx = , 



formule, qui subsiste pour tous les nombres entiers m et n . qui satis- 

 font aux inégalités 



(314) m>0,n>0,m>n. 



Soit r un nombre entier positif ou nul, et désignons par Gr{x) 

 une fonction entière et rationnelle quelconque du ?■'*""' degré, on pourra 

 évidemment mettre cette fonction sous la forme 



711 =r 



(315) G,{x) = 2 a^H„,ix) , 



nr=o 



en désignant par a,„ des quantités constantes. Par suite on aura 



(316) I e-'''GXx)B„{x)dx=Z ar,A er^' H„,{x) H„[x)dx . 



Cela établi, supposons que c ?■ ^ ?i — 1 , et appliquons la for- 

 mule (313) à l'intégrale, qui se trouve dans le second membre de l'équa- 

 tion (316), nous en déduirons 



(317) ■ r e-^' G, {x) H„ (.r) dx = ^ 



*.■' — .» 



formute, qui subsiste pour toute fonction entière et rationnelle Gripc)-, 

 dont le degré r satisfait aux inégalités 



(318) ^ r ^ w — 1 . 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. ups. Ser. III, 7 



