SuK l'Évaluation approchée des intégrales définies simples. 51 



Supposons, que la fonction f(x) soit développable en série con- 

 vergente, de sorte que l'on ait 



(325) f{x) = c„ + c, X -f c, x' + c,x'-\ 



pour toutes les valeurs réelles de la variable a;, et désignons par J„ 

 l'erreur commise en employant la formule d'approximation ci-dessus, 

 nous aurons d'après le théorème III 



(326) J„ = Y c,/C , 



ou 



(327) K, = (- A)" j " e-^' H„ix) QX^) dx , 



si' l'on désigne par Qr{x) le quotient, qu'on obtient en divisant la puis- 

 sance j/ par le polynôme ( — „ j H„{x) . 

 Pour 



n<r<2n—l 



le degré du quotient Qr(x) sera inférieur ou égal à n — 1 , et par appli- 

 cation de la formule (317) au second membre de la formule (327), nous 

 en déduirons 



(329) Kr = 



pour n ^ r ^2n — 1, et par conséquent nous obtiendrons de l'équa- 

 tion (326) 



(330) J„ = "f c,.K, . 



r='2n 



Dans les cas, où f{x) est une fonction entière et rationnelle de la 

 variable x, dont le degré ne surpasse pas 2n — 1, les coefficients C2„, 

 '•-'2n+i , <-'2n+2 , • • • • s'aunulerout d'après l'équation (325), et par suite nous 

 tirerons de l'équation (330) dans ces cas 



(331) ^,. = ; 

 de là résulte le théorème suivant. 



