Afd. A. N:o 21] Uber ein Problem der Variationsrechnung. 3 
Wir fragen nach den Bedingungen, denen die Kurve c 
genägen muss, damit es möglich sei g und o' so klein zu 
wählen, dass e dem Integrale (1) einen kleineren Wert gebe 
als jede andere Kurve der Gesamtheit Too'. Hierbei nehmen 
wir an, dass F (x, y, y') eime fär alle in Fragé kommenden 
Wertsysteme der Argumente reguläre analytische Funktion ist. 
Nehmen wir zuerst die Stäcke ec, und e3z, in Betracht, 
so erhalten wir unmittelbar aus der Theorie des Problems 
ohne Schranken notwendige Bedingungen hinsichtlich dersel- 
ben. Zu den variirten Kurven, die wir in Betracht zu ziehen 
haben, gehören nämlich auch die Kurven, die man erhält, 
wenn nur ec,, oder nur eg, Variirt werden, und somit mässen 
diese Bögen alle Bedingungen erfällen, die beim Problem 
ohne Schranken notwendig sind. Sie mössen erstens Extre- 
male, d. h. Integralkurven der Euler'schen !) Differential- 
gleichung sein. Ferner därfen sich zwischen ihren Endpunk- 
ten keine Paare von konjugierten Punkten befinden, und 
schliesslich muss auf ihnen die Legendre'sche Bedingung erfällt 
a (2, y (2), y'(x)) darf in keinen Punk- 
ten der Intervalle x, <x<Xx, und x3; <x< Xx, negativ werden. 
Diese Bedingungen sind sämtlich schon fär das schwache 
Minimum notwendig. Wenn oy eine bestimmte positive Zahl 
ist, und es möglich sein soll o so klein zu wählen, dass das 
Minimum gegenäber den Kurven Tooy' stattfindet, so kommt 
noch die auf die Weierstrass'scehe F-funktion bezägliche Vor- 
zeichenbedingung hinzu. Die Weierstrass'sche Funktion 
E (x£, y, y', p) ist bekanntlich durch die Gleichung: 
sein, d. h. die Grösse 
; ; JB SUGER 
EID) = Ey) = EB g2) UP) äg rr) 
definiert, und die genannte Vorzeichenbedingung besagt Fol- 
gendes: 
!) Nach Bolza, Vorlesungen iber Variationsrechnung, ist die gewöhn- 
lich als Lagrange'sche Differentialgleichung bezeichnete Gleichung Euler zu- 
zuschreiben. 
