4 J. W. Lindeberg. [LI 
Wenn x in irgend einem der Intervalle 2, <x<2x, und 
Lz <L<L, liegt, so muss £ (x,y, y', p) fär 
y=3 (2), | y'—y'(x)| <00', p=y'(2) 
positiv oder Null sein. 
Die Notwendigkeit dieser letzten Bedingung wird zwar 
gewöhnlich unter der Annahme bewiesen, dass die Ableitung 
Bor nicht nur nicht negative Werte annimmt, sondern auch 
nicht Null wird, kann aber auch ohne diese Annahme be- 
wiesen werden !). . 
3. Wir wenden' uns jetzt zu dem Teil ex; von e. Es 
ergibt sich sofort aus der Betrachtung der ersten Variation 
eine erste Bedingung die hier erföllt sein muss. 
Es sei » (x) eine eindeutige im Intervalle x,<2x<-X2x3 ein- 
mal stetig differenzierbare positive Funktion von x, die fär 
x=X, und x=2X; Null ist. Ersetzen wir das Stäck c,z von 
c durch eine Kurve y= y (Xx) + a» (2), so gehört die so erhal- 
tene Kurve fär kleine positive Werte des Parameters « zu 
den Kurven, im Vergleich mit welchen ce das Minimum erge- 
ben soll. Also muss das Integral 
La 
JE 09 + ana) ar kr 
L2 
fär solehe Werte von « grössere Werte erhalten als fär a=20, 
woraus folgt, dass die Ableitung desselben för a« =0 positiv 
oder Null sein muss. Diese erste Ableitung ist aber gerade 
die erste Variation 
Ha / 
SENT BE lag de, 
Oy dx dy" 
La : 
wo y=y(x ) und y'=y'(x) zu setzen ist, und da nun dieselbe. 
fär jede wie oben charakterisierte Funktion m»(x) positiv sein 
soll, so muss auch die Ungleichung 
') Lindeberg, HFEine Bemerkung iber die Bedingungen des Extremums 
in der Variationsrechnung, Öfversigt af Finska Vetenskaps-Societetens För- 
handlingar, 1904—1905. 
