Afd. A. N:o 21] Uber ein Problem der Variationsrechnung. 5 
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im Intervalle x,<x<2x3; bestehen. : 
Diese ist die einzige notwendige Bedingung hinsichtlich 
des Teiles von ce der mit C zusammenfällt, die bis jetzt an- 
gefährt worden ist. Es liegt, in der That, nahe auf der Hand 
OF REdKROE 
anzunehmen, dass, wevn ——— — >0 auf cogz, dieser Bo- 
oy — dx oy" 
gen im Vergleich mit allen benachbarten, von 2 bis 3 fäh- 
renden, oberhalb cy; fallenden Kurven, dem Integrale (1) den 
kleinsten Wert gibt, denn dann wird die erste Variation fär 
alle positive Funktionen » (x) positiv. In der älteren Varia- 
tionsrechnung wurde ja in der That in dem Problem ohne 
Schranken ein analoger Schluss ohne Bedenken gezogen, in- 
dem aus dem Verschwinden der ersten Variation und dem 
festen Vorzeichen der zweiten Variation das Eintreten des 
Extremums erschlossen wurde!). Weierstrass machte auf 
die Unzulässigkeit dieses Schlusses aufmerksam, bewies aber, 
dass durch die Voraussetzungen die man in diesem Problem 
eingefäöhrt hatte, das schwache Extremum wirklich gesichert 
wird. Bei der uns vorliegenden Aufgabe wäre dagegen der 
- Schluss vollständig falsch, denn wenn an irgend einer Stelle 
0? ; | E 
VON C93 = (2, y(x), y'(x)) negativ wird, so gibt cs; gegenäber 
den oberhalb desselben verlaufenden, die Punkte 2 und 3 
verbindenden Kurven auch kein schwaches Minimum. 
Dies konnte direkt vermittels des Verfahrens bewiesen 
werden, das in der schon zitierten Note des Verfassers ?) an- 
gewandt ist, folgt aber am einfachsten aus einem allgemei- 
nen BSatze, den der Verfasser in einer in dem nächsten 
Bande der Mathematischen Annalen erscheinenden Abhand- 
lung ,Uber einige Fragen der Variationsrechnung" bewiesen 
hat. Dieser Satz enthält Folgendes. 
Es sei ce ein Stäck einer Kurve y =J(x), die zweimal 
stetig differenzierbar ist und keine mit der y-Achse parallele 
1): Vgl; Bolza I .c: & 15. 
2) Eine Bemerkung etc. 
