Afd. A. N:o 21] Uber ein Problem der Variationsrechnung. T 
klein zu bestimmen, dass £ (x, y, y', p) im Bereiche z,< x< 3, 
y=7 (2), | y'—y' (x)| <0', p=y"(x) negativ wird und nur dann 
versehwindet, wenn y'=p ist, und wir können deshalb den 
obigen Satz auf den Bogen ec», anwenden. 
Wir bezeichnen mit Sjo das Gebiet der Ebene, das von 
cyg, der Kurve y=y(z)+o und den Geraden x=2ZX2 und 
x=T3; begrenzt ist. Welche Werte nun auch po, & und 
(e<Z3 — Zo, £<0') haben mögen, so kann man offenbar in 
S+o unendlich viele die Punkte 2” und 3' verbindende, ein- 
mal stetig differenzierbare Kurven y=Y(z) so ziehen, dass 
im ganzen Intervalle z,<x<Z3 |Y'(x) —y' (2) |<o' ist, wäh- 
rend in Teilintervallen von grösserer Gesamtlänge als & die 
Ungleichung |Y'(x) —y'(x) | > «' stattfindet. Nach dem zitier- 
ten Satze gibt aber, wenn 9 hinreichend klein ist, jede solche 
Kurve dem TIntegral (1) einen kleineren Wert als cz, und 
also kann der Bogen c,; gegenäber den oberhalb desselben 
verlaufenden Kurven mit den Endpunkten 2 und 3 keine 
Art von Minimum liefern. 
Hiermit ist hinsichtlich des Bogens c,3; eine neue we- 
sentliche notwendige Bedingung abgeleitet: Die Legendre'sche 
Bedingung muss auch auf dem Bogen coz erfiällt sein. 
4. För die weiteren Uberlegungen föhren wir die Voraus- 
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setzung ein, dass Ez (£, y, y') im Bereiche x, < 2 < 3, y=—y(x), 
y'=y"(x) äberall positiv bleibt und auch nicht den Wert Null 
annimmt. Ebenso nehmen wir von jetzt ab an, dass die 
Ungleichung 
0 / 
(2) BL RSS 
Oy dx oy' 
fär x£, <x<2x3, y=y(x), y'=y"'(x) besteht?!). 
Unter diesen Voraussetzungen soll gezeigt werden, dass, 
falls c gegenäber den Kurven einer Gesamtheit Too, das Mi- 
!) Hierdurch wird etwas mehr vorausgesetzt als was nach dem Vorigen 
notwendig ist; die Fälle, wo die Ableitung: SR auf c Null wird, oder der Aus- 
druck (2) in Punkten von c,, verschwindet, sind aber als Ausnahmefälle zu 
betrachten. 
