Afd. A. N:o 21] Uber ein Problem der Variationsrechnung. lä 
5. Es bleibt uns nun noch äöbrig die Bedingungen in 
den Punkten 2 und 3 festzustellen. Hierbei mässen wir vor- 
läufig annehmen, dass c in diesen Punkten Ecken haben kann, 
und dass also auch die Vergleichskurven die wir in Betracht 
zu ziehen haben, auf den Geraden x=2, und x=2x; Ecken 
aufweisen können. : 
Wir bezeichnen mit 1' und 2” zwei Punkte von c in der 
Nachbarschaft von 2, und nehmen an, dass, wenn x,, 7, und 
X3, Ja die Koordinaten dieser Punkte sind, £: < Ly < Za. S0- 
dann konstruieren wir die Extremale durch den Punkt 1”. 
Die so erhaltene Schar bedeckt sicher als Feld ein gewisses 
Gebiet, das das Kurvenstäck c,, umgibt und den Punkt 2 in 
seinem Inneren enthält. Wir bezeichnen mit Pp (x, y) die 
entsprechende Funktion der Ableitungen. Ferner bezeichnen 
wir mit y; (2) und y;(x.) die respektiven Grenzwerte der Ab- 
leitung y'(x), die man erhält, wenn x zu- oder abnehmend 
sich dem Wert x, nähert, und bemerken, dass y;(x.) = P (X2, yo). 
Wenn nun c gegenäber allen Kurven einer Gesamtheit 
Too', das Minimum ergeben soll, so muss auch jede die 
Punkte 1' und 2” verbindende Kurve e',,, die in S so ver- 
läuft, dass, wenn das Stäck cy, von ce mit e',., ersetzt wird, 
die so erhaltene Kurve zu der Gesamtheit Too', gehört, dem 
Integral (1) grössere Werte geben als cy». Wir nehmen als 
e'v eine Kurve, die von 1” bis zu dem Punkte 3, n2 (72 > Y2) 
der Gerade x=72X, mit der Extremale des soeben definierten 
Feldes zusammenfällt, und von diesem Punkte bis 2” längs 
der Kurve 
y=yl(z)+ "2 (2— >) 
ka — Ha 
geht. Es ist dann, wie man ohne Schwierigkeit aus dem 
Beltrami-Hilbert'sehen Unabhängigkeitssatze schliesst 
| RAN | Fay | B(xjyy';B (te, y) de 
Epa Cya Gr 
- fEG Y, y', Pp (Xx, y)) dz. 
CC! 
