60 



/^i och ^2- På grund af den tredje ekvationen (40) bör 

 summan P^ -f- P^ vara konstant. De båda kvantiterna 

 Py och Pg kunna variera sålunda, att deras summa är oför- 

 änderhg. Om genom origo en rät hnie dragés, som bildar 

 hka stora vinklar med P^ och P^ och ett par af de sökta 

 räta linierna bestämmas, så bilda dessa med förutnämnda 

 räta linie en likbent triangel. Tankes denna flyttad längs 

 den räta linien, utgöra triangelns ben i hvarje af triangelns 

 lägen ett par af de sökta räta linierna. Detta framgår der- 

 af, att i en likbent triangel summan af perpendiklarne mot 

 triangelns ben från en punkt på basen är konstant. 

 Om n = 2, fås ekvationerna 



3 



cos ^l -\- cos fil -4- cos /?^ = — ^ cos «2 



3 



sin/SiCOS;^i+sin/?2COs/?2+sin/?3CosyS3=— ^sinacosa 



3 



(42) • • • • Pi cos /5i+P2 COS /?2+P3 cos ^3 = 2p COS a 



3 



Pi sin /?i H-P2 sin fi^ + ^3 sin fi^ = — 2p sin a 



För bestämningen af de sex obekanta P och fi hafva 

 vi fem ekvationer. Derför kan t. ex. vinkeln fi^ godtyckligt 

 bestämmas. Behandlas under denna förutsättning den för- 

 sta och den andra af föregående ekvationer på samma sätt 

 som ekvationerna (33) och (34), kan sin (/^i — /Jg) be-* 

 stämmas och särskildt de båda vinklarne ^i och ^2. såsom 

 funktioner af fi^. Ifrån de tre senare ekvationerna (42) be- 

 stämmas värdena på P^ , P^ och P3. 



Om de gifna räta linierna bilda en regulier polygon, 

 är problemet alltid möjligt, ty enligt teorem I äro perpen- 

 diklarnes potenssummor proportionella mot sidornas antal i 

 polygonerna. Om n är ett udda tal, får punkten tagas en- 

 dast inom den inskrifna cirkeln, eljes huru som helst. 



