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sibles des intégrales proposées. Leur caractère distinctif est quil soit im- 
possible de les augmenter, en cas de maximum, ou de les diminuer, en cas 
de minimum, par une déformation quelconque de la courbe et un déplace- 
ment quelconque des limites, pourvu que ces changements soient compatibles 
avec les conditions du problème et suffisamment petits. 
Ce caractère s'exprime analytiquement comme suit: 
Soit S, la valeur de l'intégrale rapportée à la courbe dont y est 
Yordonnée et prise entre les limites x, et x; soit S, la valeur de la méme 
intégrale rapportée à une autre courbe, définie par l'ordonnée 7, et à 
d'autres limites £, et £,. Si la différence S, — S,, ou brièvement AS, , 
reste toujours positive ou toujours négative, quelle que soit la courbe de 
toutes les 4 qui satisfont aux conditions du probléme et s'approchent suffi- 
samment de la courbe des y, il existe dans le premier cas un vrai maxi- 
mum, dans le second un vrai minimum. 
C'est ce caractére qui sert de base aux théorémes conduisant à la 
solution du probléme, toutes les fois qu'il en admet une. Mais il est 
nécessaire à cet effet d'avoir une expression générale de la différence AS,. 
Or voici comment nous la formulerons: 
Soient æ et y l'abscisse et l'ordonnée de la courbe cherchée, y, 
y,...y™, les dérivées successives de y par rapport à a. L'intégrale en 
question sera de la forme 
T2 
2 2 2) 
y Qu, y, y°, YO... YO) dx , 
Ti 
où Q désigne une fonction connue des quantités sur lesquelles elle opère. 
On a donc, suivant la définition de AS,, 
& T2 
AS, — Ola, 7; nant. A) da -— O(a, y, Ye yP custodie 
© 
1 
ou plus brievement 
NS, — [ot f Q, da, 
par où est donnée la signification des notations Q, et Q,, dont nous nous 
servirons dans la suite. 
