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Or les termes linéaires par rapport à Ay étant la partie prépondé- 
rante de AS,, il est naturel de les considérer séparément. Mais ces ter- 
mes, ou A, e par lequel ils seront désormais désignés, doivent étre trans- 
formés afin que la quantité arbitraire Ay, qui entre implieitement dans ses 
dérivées Ay®, Ay®... Ay”, se détache distinetement de la partie invaria- 
ble. Ces transformations, qui ne sont que des intégrations par parties suc- 
cessivement exécutées, donnent le résultat connu: 
IP De AR syn Py AY: a4 N Si Guy (2); nh Ay. 
TIU — 23 
zu 
Iei se présente naturellement la question suivante: A quelles restric- 
tions prés, la différence Ay, qui se trouve sous le signe intégral, doit-elle 
étre regardée comme arbitraire? 
Bien que Ay soit, d'aprés ce qui précéde, tellement arbitraire qu'on 
le peut exprimer par des fonctions différentes de # pour des parties diffe- 
rentes de l'intervalle x, — x, , et par conséquent lannuler aussi pour une 
étendue arbitraire du méme intervalle, il est important d'observer que Ay 
avec ses n dérivées successives, doit satisfaire à la condition de continuité, 
et que Ay avee ses (n — 1) dérivées successives, doit étre nul au point oü 
la déformation commence et au a ou elle finit, si ces points sont situés 
en dedans des limites a, et x,; ou, namen parlant, que la courbe 
des „, divergeant de la courbe de y pendant une partie de l'intervalle 
Xx, — 2, doit avoir avec elle un contact de (n — 1)" ordre au moins aux 
points de divergence. Sans cela, la dérivée 7” serait destituée de toute 
signification aux points où la courbe des 7 s'unit à la courbe des y pour 
constituer avec elle une seule branche pendant le reste de l'intervalle x, — a, . 
Une remarque analogue s'applique évidemment aux points oü la courbe des 
4 est représentée par des fonctions différentes, quand on passe d'un côté 
à l’autre. 
Ce sont là des restrictions genérales que la nature méme du pro- 
bléme impose à Ay. Mais en outre, Ay doit satisfaire dans chaque cas 
spécial à de certaines conditions données, appartenant ordinairement à l'une 
ou à l’autre des deux classes suivantes: 
Dans la premiére, nous rangeons toutes les conditions qui prescri- 
vent qu'une ou plusieurs intégrales, prises le long de la courbe entre les 
limites x, et a,, doivent avoir des valeurs constantes; dans la seconde, 
