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termes quadratiques et rectangulaires pour conserver toujours le méme signe. 
Cela n’est pas moins nécessaire dans le cas où Aa, ne dépend pas de 
| Ay et de ses dérivées. Ces conditions étant bien connues, il est superflu 
de les énumérer ici. 
L'examen du signe de A, S,, quand il s'agit de déformations suffi- 
samment petites, conduit donc aux conditions nécessaires, mais non suffi- 
santes, pour l'existence d'un vrai maximum ou d'un vrai minimum. 
Ces premiéres conditions étant supposées remplies, nous passerons 
à la recherche des autres. Puisque une petite déformation ne changera pas 
le signe de A,S,, élargissons l'intervalle (o + c) — x en faisant glisser le 
long de la courbe le point qui correspond à &--«. Sil arrive mainte- 
nant, en quelque lieu, qu'on puisse changer le signe de A,S, par une déter- 
mination convenable de Ay, il faut qu'on ait déjà dépassé le point oü il 
était possible d'annuler A,S,, mais non d'en changer le signe. Pour 
le prouver, supposons qu il soit possible, quand la déformation s’etend 
de a à un certain point æ+e, de changer le signe de A,S, de + 
en —, mais que ce soit impossible si elle finit avant ce point, et impos- 
sible en outre de l'annuler sans rendre Ay identiquement nul. On pour- 
rait alors, en étendant la déformation à un point précédent aussi prés 
qu'on le voudrait du point a ++, trouver des courbes des 7 qui s'appro- 
chassent indéfiniment de celle qui rendait A,S, négatif, tandis que les va- 
leurs correspondantes de A,S, resteraient séparées par un intervalle fini, 
ce qui est contraire à la continuité que nous avons supposée dès le com- 
mencement. Il est done clair qu'on arrivera d'abord à un point où il sera 
possible d’annuler A, S, sans rendre Ay identiquement nul. Mais cela ne 
se fera pas par une déformation quelconque, puisque A,S, serait alors in- 
dépendant de Ay; au contraire, il est aisé de voir qu'elle sera assujettie à 
la condition d'annuler les termes linéaires dans la variation de A,S,, ou, 
d'après la notation adoptée, dans A A,S,, Ay étant considéré comme la 
fonction inconnue devant donner une valeur maxima ou minima de A,S,. 
Admettons en effet que A A.S, ne soit pas = 0. Il serait done possible, 
en faisant varier Ay, de changer le signe de A,S,, ce qui est contraire à 
la supposition. Cela conduit naturellement au méme probléme relatif à 
Ay que celui que nous avons résolu relativement à y dans l'introduction 
de ce mémoire. Or les termes restants de A,S, sont, comme on l'a vu, 
(^ r=. 7, —Rn—l1 
d 
2 
& [| (Sarge sonans 
