Ds. le Tome XLVIII de l'Archiv pour Mathématiques et Physique de M. 
GRUNERT j'ai publié quelques théorémes sur la réalité des raeines d'équa- 
tions algébriques, à l’aide desquels on peut toujours trouver le nombre et 
les places des racines réelles d'une équation donnée, en connaissant les 
valeurs des racines réelles de la dérivée. Je me permets d'en reproduire 
iei les cinq premiers, qui seront cités dans la suite. 
Théor. I. Si toutes les racines de l'équation f(x) = 0 sont réelles et 
inegales, les racines de l'équ. f(x) = 0 le sont aussi et situées chacune entre 
une paire de celles-la. 
Th. IT. Si toutes les racines de l'équation f(x) = 0 sont réelles et 
inégales, les racines de l'équ. f(x) = 0 ne le sont pas aussi, à moins que tous 
les minima de la fonction f(x) me soient négatifs, et tous les maxima positifs. 
Pour chaque maximum ou minimum = 0 deux racines de f(x) = 0 devien- 
nent égales. Pour chaque minimum positif ou maximum négatif deux racines 
deviennent imaginaires. 
Th. III. Si 2m racines de l'équ. f(x) = 0 sont imaginaires, et les 
autres réelles et inegales, 2m racines de f(x) = 0 sont aussi imaginaires. Les 
autres n — 2m sont réelles et inegales, si tous les maxima de f(x) sont posi- 
tifs, et tous les minima négatifs. Pour chaque maximum ou minimum = 0 
deux racines deviennent égales. Pour chaque minimum positif ou maximum 
n gatif deux racines deviennent imaginaires. 
Th. IV. Une racine 2m?* x =a de l'équation f(x) = 0 diminue 
le nombre des racines réelles de f(x) = 0 par 2m, à moins que f(a) ne soit 
= 0; alors a est une racine (2m + I) de l'équ. f(x) = 0. 
Th. V. Une racine (2m — I) x =a de l'équation f(x) = 0 di- 
minue le nombre des racines réelles de f(x) = 0 par 2(m— 1), si f(a) est 
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