DES RACINES D'ÉQUATIONS ALGEBRIQUES. 11 
fût > f(8). Mais nous avons déjà supposé f(a) < (8), et la fonction w, 
étant monodrome, ne peut avoir deux valeurs différentes dans un même point. 
On démontre de la même manière que la branche du point 8 ne peut 
aller à y. 
La branche de a ne peut non plus aller à +. Car alors elle cou- 
perait la branche 8, ce qui donnerait lieu à un point multiple complexe. 
Il faut done que chacune des trois branches s’approche de deux rayons 
d'asymptotes, symétriques par rapport à l'axe des a. Puisque la variable 
dépendante croit le long de la moyenne branche et décroit le long des deux 
autres, celle-là doit évidemment s'approcher de rayons d'ordre pair, celles-ci 
de rayons d'ordre impair. 
Nous appelons une telle branche qui coupe l'axe des æ dans un seul 
point et qui va de ses deux cótés s'approcher de rayons symétriques, une 
branche éransversale. Nous en désignons chacune par les mêmes lettres que 
ses deux rayons. 
Supposons maintenant que toutes les n— 1 racines de l'équation 
f'(:) = 0 soient réelles et inégales. Nous les désignons, en ordre de droite 
agoducne, par ©, 8, &,...0.,. 
La courbe primaire complexe consiste de n — 1 branches transver- 
sales, la première desquelles, AA’, passe par le point a. Si f(a) est > 0, 
un seul point-racine de l'équation f(z) = 0 se trouve nécessairement sur 
chaque moitié de cette branche, puisque w tend vers —oo à ses deux ex- 
trémités et que cette variable n'a qu'un seul maximum, f(&), pendant que 
z parcourt toute la branche. Plus la quantité /(&) décroit, plus ces deux 
points-racines s'approchent du point a; pour f(a) = O ils y coincident, et 
z — & devient une racine double. 
Pour f(a) < 0 il n'y a évidemment aucun point-racine sur la branche 
AA’. Mais alors il y en a un sur l'axe des x à droite de &, puisque « 
tend vers + oo à l'extrémité droite de cet axe. Il y en a alors aussi un 
autre entre & et @, supposé pourtant que /(&) soit > 0. Si f(@) devient 
— 0, ce point-ci s'unit avec un autre, situé auparavant à gauche, à un 
point-racine double = &. Enfin, pour f(&) < 0, ces deux points-racines 
s'éloignent le long de chaque moitié de la branche BB’, qui passe par &. 
Pour chacune des branches transversales la méme conclusion peut se 
répéter, et le résultat s'exprimer ainsi: 
