12 C. F. E. BJÖRLING, SUR LA SÉPARATION 
Si toutes les m — 1 racines de l'équation derivée sont réelles et inégales, 
la courbe primaire complexe consiste d'autant de branches transversales. 
St toutes les valeurs de f(z) qui correspondent aux points-racines im- 
pairs de la dérivée, sont négatives, et celles qui correspondent aux points-racines 
pairs, sont positives, toutes les racines de l'équation f(z) = 0 sont réelles et 
alternent avec celles de la dérivée. 
Si f(z) sannule dans un point-racine de la dérivée, deux racines de 
f(z) = 0 s'unissent dans ce point a une double. 
Pour chaque valeur positive de f(z), qui correspond à un point-racine 
impair de la dérivée, et pour chaque valeur négative de f(z), correspondant à 
un point-racine pair, un point-racine complexe de f(z) = O est situé sur chaque 
moitié de la branche transversale qui passe par ce point-racine de la dérivée. 
S'il ne s'agit que des racines réelles, cette proposition est identique 
au théorème II, reproduit ci-dessus. 
$ 6. 
Nous supposons maintenant que deux racines de l'équation dérivée 
soient complexes, les autres » — 3 réelles et inégales. La courbe primaire 
complexe coupe l'axe des x dans n —3 points divers, et il y a par suite 
de deux cótés du méme axe deux rayons d'asymptotes dont les branches ne le 
rencontrent pas. Ces deux branches doivent done se raccorder entre elles, 
puisque la courbe n’a pas de point singulier complexe. 
Les deux rayons dont il s'agit, sont nécessairement consécutifs. Car 
s'il n'était pas ainsi, leur branche commune couperait la courbe, ce qui don- 
nerait lieu à un point multiple complexe. Done l'un des deux rayons est 
pair, l'autre impair. 
Nous appelons une telle branche de la courbe, qui ne coupe pas 
laxe des x, mais qui va d'un côté de lui s'approcher de deux rayons, dont 
Yun est pair, l'autre impair, une branche latérale. A cause de la symétrie 
elles existent toujours par paires. Nous en désignons chacune par les 
mémes lettres que ses deux rayons. 
Sur chaque branche latérale il y a nécessairement un seul point- 
racine. Car à l'une de ses extrémités w tend vers — co, à l'autre vers + oo, 
et cette variable n'a pas de maximum, ni de minimum, pendant que z par- 
court toute la branche. 
Dans le cas ici supposé l'équation f(z) = 0 a donc toujours au moins 
deux points-racines complexes, situés chacun sur sa branche latérale. Ces 
racines sont évidemment dérivées. 
