DES RACINES D'ÉQUATIONS ALGEBRIQUES. 13 
Par chacun des n— 3 points-racines réels de l'équation dérivée il 
passe une branche transversale. Les branches dont les intersections avec 
laxe des x sont d'ordre impair, vont aussi s'approcher de rayons de tel 
ordre, et inversement. Donc les places des autres » — 2 points-racines de 
l'équation f(z) = 0 peuvent se déterminer par un raisonnement, analogue à 
celui que nous avons employé au paragraphe précédent. 
Il n'est pas difficile de généraliser ces résultats. En examinant tour 
à tour les cas où l'équation dérivée admet 4, 6, 8... racines complexes, 
on parvient à cette proposition: 
St 2m(3X m — 1) racines de l'équation dérivée sont complexes, les autres 
réelles et inégales, la courbe primaire complexe consiste de m paires de branches 
latérales et de n — 2m — 1 branches transversales. Sur chacune de celles-la 
il y a toujours un seul point-racine complexe (dérivé) de l'équation f(z) = 0. 
j Si toutes les valeurs de f(z) qui correspondent aux points-racines réels 
impairs de la dérivée, sont négatives, et celles qui correspondent aux points- 
racines pairs, sont positives, les autres n — 2m racines de l'équation f(z) = 0 
sont réelles et alternent avec celles de la dérivée. 
Si f(z) sannule dans un point-racine réel de la dérivée, deux racines 
de f(z) = 0 s'unissent dans ce point à une double. 
Pour chaque valeur positive de f(z), qui correspond à un point-racine 
réel impair de la dérivée, et pour chaque valeur négative de f(z), correspon- 
dant à un point-racine pair, un point-racine complexe (propre) de f(z) = 0 
est situé sur chaque moitié de la branche transversale qui passe par ce point- 
racine de la dérivée. 
Cette proposition renferme comme un cas spécial le théorème III 
de ci-dessus. 
6 7. 
Soit maintenant z — 4 une racine réelle m2 de l'équation dérivée. 
Puisque alors 
AG) =f (C= ICO ee re D) 
d 
la formule (4, 1) montre que E prend au point correspondant la forme 
indéterminée et que la courbe primaire complexe y présente par suite 
0 
0 , 
quelque singularité. Afin de l'examiner de plus prés, nous y transportons 
l'origine, en remplaçant z par z+a. L'équation (2, 9) devient alors 
uz DR LCR EE cb RT sd aS OL ne): 
