14 C. F. E. BJÖRLING, SUR LA SÉPARATION 
si nous désignons par 
qM BURN CPM R UC had DO PEREGRINI, 
les résultats de substitution 
f" Pa) Fe) fe") 
[n ? et ee EES Le) + a le) 
On obtient aussi par la méme transformation 
X= a'r" eos np+b'r""" cos (n-1)p+cr"* cos (n-2) p+... i"! eos (m+1)p+k (5), 
et l'équation de la courbe primaire en coordonnées polaires devient 
ar" sin np + br" sin(n-1)p4 er’? sin (n-2)p+...+hr”"'sin(m+1)p=0 (6). 
Celle-ci montre que la courbe primaire a dans l’origine m + 1 tan- 
gentes, dont les angles avec l'axe des x sont 
T 27 dT MT 
M3 mcd as RES tu mee one St ie ae (0); 
et que l'origine est par suite un point multiple à m + 1 branches ou, si 
l'on veut, à 2(m-+-1) demi-branches. La moitié positive de Taxe des x en 
est évidemment une. Si on la compte pour la première, il suit de la for- 
mule (5) que l'aeeroissement qu'obtient X, lorsque + part de l'origine, en 
suivant une demi-branche, est de même signe que k ou feta), ou de 
signe contraire, selon que cette demi-branche est de nombre impair ou pair. 
On démontre de la méme maniére comme ci-dessus que les branches 
du point multiple ne peuvent se raccorder ni entre elles ni avec d'autres 
branches de la courbe; qu'elles vont par suite s'approcher chacune de son 
rayon, et que w ou .X ne peut avoir ni maximum ni minimum, pendant que 
2 parcourt une demi-branche. 
On obtient ainsi la proposition suivante: 
Si z — «e est une racine réelle m?* de l'équation dérivée, le point cor- 
respondant est un point multiple à 2(m-+ 1) demi-branches de la courbe 
primaire. 
Si f(a) s'évanouit, z — a est une racine (m 4- 1)? de l'équation f(z) = 0. 
Si f(a) ne s'évanouit pas, il y a un point-racine de l'équation f(z) = 0 
sur chaque demi-branche d'ordre pair ow impair, selon que f(a) est de méme 
signe que f "*P(z) ou non. 
Si m est nombre pair, la moitié négative de l'axe des x est une 
demi-branche d'ordre pair. Donc si f(«) ne s'évanouit pas, un seul des 
m + 1 points-racines est toujours réel Voir le théor. IV ci-dessus. 
