DES RACINES D'ÉQUATIONS ALGEBRIQUES. 15 
Si m est nombre impair, la moitié négative de l'axe des « est une 
demi-branche d'ordre impair. Done si f(#) ne s'évanouit pas, deux des 
m + 1 points-racines sont situés sur laxe des æ, si f(a) et f'"*"(z) sont 
de signes contraires, mais aucun, s'ils sont de méme signe. Voir le théor. V. 
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Reste encore à examiner le cas où quelqu'un des points-racines com- 
plexes de la dérivée est situé sur la courbe primaire. 
Soit done 8 une quantité complexe, telle que /'(8) s'annule, mais 
non f'(8), et que les coordonnées du point correspondant vérifient l'équation 
(2, 12). Nous allons montrer que 6 est un point double de la courbe 
primaire. 
Car soit d'abord /(/) = 0. Alors deux points-racines complexes de 
l'équation f(z) = 0 coincident dans ce point. Si f(8) est positif et infini- 
ment petit, ces deux points-racines s'éloignent infiniment peu du point 6, 
en suivant chacun sa demi-branche. Si /(@) est négatif et infiniment petit, 
ils s'éloignent aussi infiniment peu de 8, mais sur deux autres demi-branches, 
car « ou X croît le long de celles-ci, décroit le long de celles-là. 
Donc il faut qu'au moins quatre demi-branches de la courbe s'unis- 
sent dans ce point. Or je dis que leur nombre ne peut surpasser quatre. 
Car sil était ainsi, il est évident que, pour f(8) = 0, & serait une racine 
triple de l'équation f(z) — 0, ce qui est contraire à notre supposition. 
Done un point-racine complexe simple de l'équation dérivée, situé 
sur la courbe primaire, est un point double de celle-ci. 
On démontre de la méme maniére qu'un point-racine complexe double 
de l'équation dérivée, situé sur la courbe primaire, en est un point triple, 
et ainsi de suite. 
Du reste il s'entend facilement que de tels points multiples ne peu- 
vent exister que par paires, à cause de la symétrie. 
On voit done que, si la courbe primaire d'une équation f(z) — 0 a 
une paire de tels points multiples, il est toujours possible de choisir une 
telle valeur de la constante & que léquation admet une paire de racines 
complexes multiples. L'ordre de ces racines est égal au nombre des branches 
de la courbe qui passent par chacun des points en question. 
Done, sil y a lieu de supposer que la courbe primaire d'une équa- 
tion proposée f(z) = 0 ait des points multiples complexes, on peut procéder 
ainsi pour les découvrir. S'il s'agit de points doubles, on divisera f(z) par 
le carré du trinóme 
2^ GS in Ln ae ca pads aus Ee oe 
