16 C. F. E. BJÖRLING, SUR LA SEPARATION 
c'est à dire, par 
2*-F 2az? (a? + 2021 + 2abz 4 ba, Days 
le reste étant une fonction de z du troisième degré, où les coéfficients des 
trois dignités de z sont dépendants de a et 6, mais indépendants de k, il 
faut évidemment que a et 6 satisfassent simultanément aux trois équations 
qu'on forme en égalant ces trois coéfficients à zéro. Les quantités a et b 
étant ainsi déterminées, les points doubles cherchés Sont les points-racines 
de l'équation 
2’ a, ie ne aa S (n 
supposé qu'on ait aussi 4b > a? 
Pour découvrir des points complexes triples, on divisera de méme 
f(z) par le cube du trinôme (1); le reste étant une fonction de z du cin- 
quième degré, on obtient cinq conditions auxquelles doivent satisfaire a et 5. 
Il s'ensuit aussi de ce qui précéde que le degré d'une équation dont 
la courbe primaire puisse avoir une paire de points complexes multiples à 
m branches, doit étre au moins 2m. | 
$ 9. 
Quand on veut employer la théorie précédente à la séparation des 
racines complexes d'une équation proposée, la construction de la courbe pri- 
maire complexe constitue la principale — ou plutót la seule — difficulté. 
Les racines réelles de l'équation dérivée indiquent les points d’intersection 
de la courbe avec l'axe des v, ainsi que sa constitution générale. Quant 
aux détails de la construction il suffit ordinairement, comme le montreront 
les exemples suivants, de connaitre ses intersections avec les rayons d'asymp- 
totes. Les rayons vecteurs de ces points sont des racines réelles d'équa- 
tions du (n — 3)" degré, supposé qu'on ait fait d'abord disparaître le se- 
cond terme de l'équation proposée. 
Pour désigner les racines réelles de l'équation dérivée nous emploie- 
rons dans la suite la méme notation comme dans le § 5. Les racines réelles 
de l'équation proposée seront désignées, en ordre de droite à gauche, par 
VQ, 1%, TQ... les rayons vecteurs des points d’intersection de la courbe 
primaire avec le rayon A, en ordre de l'origine, par a, ad, @,...; ceux 
des points du rayon B par b,, by, b,..., ete. Nous supprimerons pourtant 
les indices, quand ils ne seront pas nécessaires. 
Les signes des résultats de substitution 
FQ nal Paese vr m SEE 
