4 R. J. Backlund. (LIV 



Dass £(s) in der Tat keine weiteren Nullpunkte hat, deren 

 imaginärer Teil *zwischen O und 100 i liegt, wird in folgender 

 Weise gezeigt. 



Wir betrachten ein Rechteck, dessen Eckpunkte 2 — 100 i 

 2 -f 100 i, — 1 -f- 100 i und — 1 — 1 00 z sind, und das also hin- 

 sichtlich des Punktes s = ^ s}'mmetrisch ist. 



In diesem Bereiche hat die Funktion %(s) zwei Pole er- 

 ster Ordnung, nämlich die Punkte und 1. Wenn wir die 

 Anzahl der Nullpunkte in der oberen Hälfte (= der Anzahl in 

 der unteren Hälfte) dieses Rechtecks mit N bezeichnen, wächst 

 also, wenn die Variable s längs der Begrenzung des Rechtecks 

 einen positiven Umlauf macht, das Argument der Funktion um 

 (2 N — 2) 2 ti. Da % (s) sowohl auf der reellen Achse als auch 

 auf der Geraden s"== -|- -|- if reell ist, zerfällt dieser Zuwachs in 

 vier gleiche Teile, jeder gleich dem Zuwachs (Ii, den das Ar- 

 gument erfährt, wenn s sich längs der Begrenzung des Recht- 

 ecks voni Punkte s = 2 durch s = 2-\-100i zu s = ^+100z 

 bewegt. 



Man hat also 



4* = (2N — 2)2«i 



öder 



Die angeftihrten Formeln fur arg tt - ! und argFd) be- 

 stimmen den Zuwachs der Argumente dieser Funktionen. 



Hinsichtlich des Arguments der Funktion £(s), hat man 

 fiirs = 2-f it 



1 +U 



<h 



\ 2" ■ 3 a 



i 



worans folgt dass, fur diese werte von s, 



— 2< ar § ^ s) <2' 



Ferner zeigt sich in folgender Weise dass arg £(s), auch 

 wenn das letzte Begrenzungsstiick, d. h. die Strecke von 



