2 J. W. Lindeberg. (LIV 



zuweisen, welche die folgenden Eigenschaften hat. Sie ist 

 regulär in allén Punkten der Fläche F, einschliesslich der 

 Verzweigungspunkte und der unendlich fernen Punkte 1 ), 

 verhält sich aber auf der Kurve C in der Weise unstetig, 

 dass die Werte der Funktion u auf der einen Seite von C, 

 um die Konstante 1 vermehrt, genau die reguläre Fortset- 

 zung der Funktion u auf der anderen Seite dieser Kurve 

 bilden. 



Im Folgenden wollen wir unsere Betrachtungen an die 

 in der zitierten Arbeit von Hilbert gegebene Lösung dieses 

 Problems kniipfen. 



Wenn man wiisste, dass es unter den auf der ganzen 

 Fläche F erklärten Funktionen, die sonst uberall stetig 

 sind, auf der Kurve C aber den Sprung 1 erleiden, eine spe- 

 zielle gibt, die dem s. g. Dirichlefschen Integral 



// 



du\2 ldu\2 



dxl ~* Voyj _ 



dx dy, 



wo das Integral iiber die ganze Fläche F zu erstrecken ist, 

 den kleinsten Wert erteilt, so könnte man leicht beweisen, 

 dass diese Funktion alle die oben genannten Bedingungen 

 erfiillt. Vor Weierstrass wurde aus dem Umstande, dass 

 dieses Integral niemals negativ werden känn, die Existenz 

 einer solchen Funktion ohne weiteres geschlossen; in eben 

 diesem Schlusse liegt das Dirichlefsche Prinzip. Nachdem 

 Weierstrass darauf aufmerksam gemacht hatte, dass man 

 aus dem erwähnten Umstande nur die Existenz einer end- 

 lichen unteren Grenze der Werte des Dirichlefschen Inte- 

 grals schliessen känn, dass es aber durchaus nicht ohne wei- 

 tere Untersuchungen sichergestellt ist, dass diese wirklich 

 erreicht wird, hat man allgemein das Dirichlefsche Prinzip 

 als Beweismittel verworfen. 



Die Hilberfsche Methode zur Lösung des erwähnten 

 problems besteht nun wesentlich in einer Ausfullung der 

 Lucke, die wegen der Anwendung des Dirichlefschen Prin- 



') Vgl. Hilbert, loc. cit. § 1, 



