AN:o26) Uber das Dirichlefsche Prinzip. 3 



zips iii dem alten Beweisverfahren steckt. Um die Funk- 

 tion zu definieren, von welcher sodann bewiesen wird, dass 

 sie die Lösung des Problems ist, verfährt Hilbert wie folgt. 

 Es sei d die untere Grenze der Werte des D i r i c h 1 e fschen 

 Integrals fur alle möglichen stiickweise analytischen Funk- 

 tionen *) die auf C beim Ubergang von einer bestimmten 

 Seite zu der anderen den Sprung 1 erleiden. Hilbert denkt 

 sich zuerst eine solche unendliche Reihe von Funktionen 

 der angegebenen Art 



(1) t/ p U. 2 , U 



3'*" 



ausgewählt, dass die zu den Funktionen U n gehörigen Werte 

 des Dirichlefschen Integrals gegen d konvergieren, und dass 

 der Wert des Integrals 



fUdx 



längs einem gewissen, keinen Verzweigungspunkt von F 

 und keinen Punkt von C enthaltenden, zur #-Achse paral- 

 lelen Geradenstiick 5 erstreckt, fiir jede Funktion U n den 

 Wert Null hat. Sodann werden aus dieser Reihe neue Rei- 

 hen in folgender Weise abgesondert. 



Indem wir einen Punkt der Fläche F mit rationalen 

 Koordinaten einen rationalen Punkt der Fläche nennen, 

 f assen wir alle diejenigen auf der Riemann'schen Fläche ge- 

 legenen Rechtecke R ins Auge, deren Ecken rationale Punkte 

 sind und deren Seiten parallel zur x-Achse und y-Achse 

 laufen, die iiberdies so gelegen sind, dass in ihrem Innern 

 öder auf den Seiten kein Verzweigungspunkt von F und auch 

 kein Punkt der Kurve C enthalten ist. Diese Rechtecke 

 bilden eine abzählbare Menge, und seien in die unendliche 

 Reihe 



(2) i?p R 2 , i? 3 , . . . 



angeordnet. 



») Vgl. Hilbert, loc. cit. § 2. 



