AN:o26) Uber das Dirichlefsehe Prinzip. 11 



Wir bezeichnen im Folgenden mit v n eine zu V n gehörige 

 Funktion, und heben hervor, dass diese Funktion nicht als 

 aus V n bestimmt ausgewählt zu denken ist; jede Aussage 

 uber v n ist in der Weise zu verstehen, dass sie in bezug auf 

 jede Funktion der Menge V„ zutrifft. 



3. Indem wir mit a, b; a-\-l, b; a + l, b-\-V und a, b-\-V 

 (l und Z'>0 1 )) die Koordinaten der Ecken eines bestimm- 

 ten Rechtecks R aus der Reihe (2) bezeichnen, definieren 

 wir wie folgt eine in R erklärte Funktion w. Es sei x, y ein 

 rationaler Punkt im Inneren von R. Das Rechteck, deren 

 Ecken in den Punkten a, b; x, b; x, y; a, y sind, ist dann 

 ein in der Reihe (2) vorkommendes Rechteck, dessen Index 

 mit / (x, y) bezeichnet werden möge, und zu welchem eine 

 bestimmte Zahl kt< x ,y) aus der Reihe (5) gehört. Wir defi- 

 nieren die Funktion w in jedem rationalen Punkte x, y des 

 Inneren von R durch die Gleichung 



w(x,y) = X livy) . 



Sind x, y und x-\-&x, y+Ay zwei rationale Punkte von 

 R, so hat man nach Art. 2, sobald n>t(x, y) und t(x+/\x, 

 y+Ay), 



x H 

 I jju n dxdy — w(x,y) | <e n 



a b 



und 



•t+A y y+Ay 



\j fD n dxdy — w(x+Ax,y+Ay)\ <s n . 



a b 



Andererseits lässt sich aber eine positive Zahl G derart be- 

 stimmen dass, wenn u irgend eine Funktion der Menge U 

 bedeutet, die absoluten Werte der Integrale 



J ) In der Annahme dass l und V positiv sind liegt eine Beschränkung, 

 die nicht dem Verfahren von Hilbert genau entspricht; wie dieser Art. 

 fur eine vollständige Durchfuhrung des Beweises zu ergänzen wäre durfte 

 aber fur jedermann, der den Hilberfschen Beweis in den Einzelheiten 

 kennt, klar liegen. 



