12 J. W. Lindeberg. (LIV 



x y 



f udx und J udy 



a b 



falls x, y ein Punkt in R ist, kleiner sind als G 1 ), und es be- 

 steht also, unabhängig von der Wahl der Punkte x, y und 

 x+Ax, y+Ay in R, die Ungleichung 



(7) \ffv n dxdy—j fv n dxdy\<G(\Ax\+\Ay\). 



a b a b 



Also ist 



| w(x,y) — w(x+&x,y+&y) | <G(\Ax\ + \Ax\) +2t n 



öder, da e B durch Vergrösserung von n beliebig klein ge- 

 macht werden känn, 



(8) \w(x,y) — w(x+/\x,y+Ay) \ <G (\Ax \ + | Ay |). 2 ) 



Diese Ungleichung spricht die Stetigkeit der Funktion w 

 aus. 



Ist x, y ein Punkt von R, wo die Eine öder beide Koor- 

 dinaten Irrationalzahlen sind, öder ein Punkt auf den Seiten 

 von R, so definieren wir die Funktion w in diesem Punkte 

 als den Grenzwert, gegen welchen die Werte von w konver- 

 gieren, wenn man sich zu diesem Punkte durch rationale 

 Punkte des Inneren von R unendlich nähert. Hierdurch 

 erhalten wir eine in jedem Punkte von R, einschliesslich der 

 Seiten, erklärte stetige Funktion, fiir welche die Ungleichung 

 (8) noch gilt, wie die Punkte x, y und x-\-A%, y+Ay in R öder 

 auf den Seiten dieses Rechtecks auch gewählt sind. 



Wir behaupten nun noch: 



Wenn t eine beliebig klein vorgegebene positive Zahl 

 bedeutet, so gibt es stets eine solche Zahl n () , dass, wenn 

 n>n () , in jedem Punkte von R, einschliesslich der Seiten, 

 die Ungleichung 



J ) H il b er t, loc. cit. § 6. 



2 ) Wir nehmen G so gross an, dass die Gleichheit ausgeschlossen ist. 



