AN:o26) Uber das Dirichlefsche Prinzip. 13 



x y 



<9) | fjv n dxdy — w(x,y) \ <t 



a b 



besteht. 



Wir denken uns zwei neben einander liegende Seiten von 

 R durch rationale Punkte in Teile geteilt, die sämmtlich klei- 



ner sind als ^— ^. Durch die Teilungspunkte ziehen wir 



sodann Parallelen zu den Achsen, und betrachten sämmt- 

 liche hierbei entstandene Rechtecke mit einer Ecke im 

 Punkte a, b. Jedes dieser Rechtecke kommt in der Reihe 

 {2) vor; der grösste Index, der einem solchen Rechtecke 

 entspricht, sei m. Wählen wir nun n Q grösser als m, und 



ausserdem so, dass t n <^, so hat man fur n>n in jedem 



Punkte .t*, y*, wo die genannten Parallelen einander öder 

 die Seiten von R schneiden 



•v* y* g 



f fv n dx dy — w (x*, y*) 



a b 



3 



Ist x, y ein beliebiger Punkt von R öder dessen Seiten, und 

 x*, y* derjenige von den oben genannten Schnittpunkten, 

 deren Abstand von x, y der kleinste ist, so hat man 



|x — x*| und \y— y*\ <^, 



und die Ungleichungen (7) und (8) geben 



x y x* y* 



I fv n dxdy— ffv n dxdy | 



3 

 w(x,y) — w(x*,y*) I 



a b a b 



E 



3 



Kombiniert man diese Ungleichungen mit der oben erhalte- 

 nen, ergibt sich die Ungleichung (9), womit der Beweis un- 

 serer Behauptung erbracht ist. 



