Öfversigt af Finska Vetenskaps-Societetcns Förhandlingar. 

 Bd. LVIII. 11)1.')— 1916. Afd. A. N:o 3. 



Sur une fonction entiére dont la fonction inverse 



présente un ensemble de singularités transcen- 



dantes de la puissance du continu. 



Par 



Felix Iversen. 



Dans un Mémoire récent M. S i r e a démontré ^) qu'il 

 existe des fonctions entiéres dont les inverses admettent un 

 ensemble non dénombrable de points singuliers transcen- 

 dants. Dans ce qui suit nous iormerons une fonction F(z) 

 jouissant de cette propriété et plus simple que celle considé- 

 rée par M. S i r e. Nous y arriverons å Faide de la fonction 

 entiére 



/- ^ / 1^w -2m -fl 



„ = o n\ 2n-\-\ 

 o 



dont nous étudierons d'abord les propriétés tres intéressantes 

 d'une maniére plus détaillée qu'on ne Tavait fait jusqu'ici ^). 



I. Etude de la fonction /(^) et de son inverse. 



1. La ionction (1) est une fonction impaire de la variable 

 z, et, comme elle est reelle sur Taxe réel, elle prend des valeurs 



^) Paul Si re: Sur la puissance de Vensemble des points singuliers 

 transcendants des fonctions inverses des fonctions enticres. Hull. de la Soc. 

 Math. de France, Torne XLI, 1913. p. 148. 



'^) Cf. A. Hurwitz: Sur les points critiques des fonctions inverses, 

 Comptes Rendus, Torne 143, 1906, p. 877 et Torne 144, 1907, p. 63. 



