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conjuguées en des points symétriques par rapport å cet axe. 

 Il s'ensuit qu'il suffit d'étudier cette fonction dans la portion 

 T du plan des z qui est limitée par Taxe réel positif et Faxe 

 imaginaire positif. 



On sait ^) que la fonction f{z) tend uniformément vers la 



valeur-limite — dans Fangle O ^ i// < j (2 = (> e"^) lorsque 

 (> augmente indéfiniment. Sur Taxe imaginaire positif on a 



f{z) = i J^^e^^di), 

 o 



d'ou il suit que la fonction /(r) y tend vers Tinfini. Enfin 

 la dérivée f'{z)=^e~^' est partout différente de zéro. 

 Posons 



z=x + iy, w = u-\- iv . 



En choisissant, dans Fintégral (1), comme chemin d'inté- 

 gration une ligne brisée se composant d'un segment de Taxe 

 des y et d'un segment paralléle å Taxe des x, ou bien d'un 

 segment de Taxe des x et d'un segment paralléle å Taxe des 

 y, et en observant que la fonction /(z) est reelle sur Taxe des 

 X et purement imaginaire sur Taxe des y, on trouve facile- 

 ment pour 11 et /; les expressions sui vantes 



/x 

 e-^')cos {2yx)dx 



o 



P 



y r=: e - *° I ei>' cos (2xy)dy. 



2. Pour ce qui suit nous aurons besoin de connaitre les 

 courbes du plan des z sur lesquelles v est egal å zéro et, 

 par suite, la fonction f{z) reelle. A cet effet donnons å x 

 une valeur positive fixe, et considérons la courbe qui repré- 

 sente la fonction en y 



e^' (cos Ixy). 



*) Cf. par exemple Ernst Lindelöf: Le calcnl des résidus, Paris 

 1905, p. 43. 



