Felix Iversen. (LVIII 



3. Puisque la fonction /(z) converge unifoririément vers 

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pour O = 1^ = -j lorsque z s'éloigiie vers rinfini, sa partie 



reelle u teiid vers — - sur les braiiches des courbes a» qui 



s'approchent indéfiniment de Faxe réel. Comme de plus 

 f'{z) ne s'évanouit jamais, u varie toujours dans le méme 

 sens, lorsque z parcourt Tune des lignes a„, et tendra donc 

 vers des valeurs-limites déterminées, finies ou non, aussi 

 sur les branches de ces courbes qui s'approchent de Taxe 

 imaginaire. Pour déterminer quelles sont ces valeurs- 

 limites, nous allons tirer parti d'un théoréme de M. L i n- 

 d e 1 ö f ^), qui peut s'énoncer comme suit: 



Si la fonction f{z) est régiilihe dans le domaine d compris 

 entré deux chemins infinis, tels qae a,^ et rr^^^i, et si elle tend sur 

 ces chemins vers des limites différentes, ou encore, si elle y 

 tend vers la méme limite sans tendre uniformément vers cette 

 limite dans le domaine d, elle prendra dans ce domaine, en 

 une infinité de points, toute valeur finie donnée, sauf une valeur 

 au plus. 



En observant qu' entré deux lignes consécutives a„ et 

 o,j^i la fonction f{z) ne prend pas de valeur reelle, on en con- 

 clut d'abord qu'elle admet la méme limite sur les branches 

 considérées de ces lignes, et qu'elle tend uniformément vers 

 cette limite dans le domaine compris entré deux de ces 

 courbes. D'autre part, si on applique ce méme théoréme 

 ä la courbe Oi et å Taxe imaginaire, sur lequel f{z) tend vers 

 rinfini, on trouve que la limite en question est in finie. 



4. Nous allons voir maintenant que sur deux courbes n 



successives, Vexpression u — — est de signes contraires. 



En effet, supposons qu'il y ait deux courbes o„ et o„+, 

 sur lesquelles Texpression en question soit de méme signe, 

 et désignons par d le domaine compris entré ces courbes. 

 Sur chacune d'elles la fonction f{z), d'aprés le n" 3, ou bien 



^) Ernst Lindelöf: Sur un principe general de VAnahjse et ses 

 applications å la théorie de la representation conforme, Acta Soc. Se. Fen- 

 nicse, Tom. XLVI, 1915, p. 13. 



