A X:() ;}) Sur iinc fonction entierc. 5 



j/ji y jj 



croitra de — x å — ou bien décroitra de x å -- lorsque re 



croit de O å x . 



Preiions sur a„ uii point quelconque z'„etposoiis f{z'„) — u'. 



D'aprés notre antithése il y a sur o„^_i un point r'„_^i bieu 



déterminé tel que /(r'„^,) = u'. Joignons z'„ et r'^4i par une 



ligne o' comprise dans d. A a' correspond, en vertu de la 



relation w—f{z), une courbe fermée s' qui, outre le point 



w = ii', n'a aucun point commun avec Faxe réel, puisqu'entre 



f>„ et <>n+-i ^^ fonction /(r) ne devient jamais reelle. 



Vtt 

 Puisque /(-) tend uniformément vers -— - dans cl lorsque x 



augmente indéfiniment, on peut ensuite choisir sur o^, et a;,4i 

 deux autres points, 2",, et 2"„_^i, auxquels \{z) prenne la méme 

 valeur w = u" et qu'on puisse réunir par une ligne o", com- 

 prise dans d, de telle maniére que la ligne fermée correspon- 

 dante .s" du plan des w n'ait aucun point commun avec la 

 ligne s'. 



Désignons par J la partie du domaine d comprise entré 

 les lignes a' et o", et par n un chemin intérieur å // joignant 

 ces deux lignes. Le chemin correspondant s relie entré elles 

 les deux lignes fermées 5' et s", et, puisque celles-ci sont 

 extérieures Tune å Tautre, on peut donc choisir sur a un 

 point r tel que le point correspondant w=f(z) soit situé å 

 rextérieur de chacune des lignes s' et s". Nous savons d'ail- 

 leurs que w n'est pas situé sur Faxe réel. 



Cela pose, faisons décrire au point z le contour du domaine 

 ./ dans le sens direct. Le point w décrira dans son plan un 

 contour fermé qui se compose des lignes s' et s" et du segment 

 ii'u" de Taxe réel, parcouru deux fois en sens contraires. 

 D'aprés ce que nous venons de dire, Fargument de la fonction 

 w — w=f{z) — f(z) devrait donc reprendre sa valeur initiale. 

 Mais, de Fautre cöté, la fonction f(z)—f{z) admet dans le do- 

 maine ,7 au moins un zéro, å savoir le point z, et, puisqu'elle 

 est réguliére dans ce domaine et différente de zéro sur son con- 

 tour, son argument, d' apres un théoréme connu, devrait 

 s'accroitre d'un multiple entier de 271. Nous sommes donc 

 amenés å une contradiction, ce qui démontre finalement 



