A X:o 3) Sur une fonction enticrc. 9 



Eli suivaiit la variation de rargumenl de Texpression 

 f(z) — Wq, 011 coiiclut, å Taide du théoréme déjå rappelé au 

 n" 4, que la fonction f{z) prend dans d une fois et une 

 seule toute valeur Wq dont la partie imaginaire est positive, 

 tandis qu'elle n'y prend aucune valeur dont la partie imagi- 

 naire soit negative. Par suite, la bände d est représentée 

 par la fonction w=f(z) sur la moitié supérieure du plan 

 des w. On constate de méme qu'å la bände contigue com- 

 prise entré a2;,_i et n.^,, correspond la moitié inférieuredu plan 

 des w. 



Donc le domaine (V,, compris entré 02n-\ et (hn+i est repré- 

 senté par la fonction w=f(z) d'une maniére bi-univoque et 

 conforme sur un plan entier, découpé suivant Taxe réel 



t/jI 



positif depuis le point -^- jusqu'å +oc . Ce plan, que iious 



désignerons par /,j, constitue ainsi un feuillet de la surface F. 

 Soit ()__„ le domaine symétrique a ()„ par rapport å Taxe 

 réel; puisqu'å des valeurs conjuguées de z correspondent 

 des valeurs conjuguées de /(z), le domaine d'_n sera repré- 

 senté sur un feuillet /^,, muni de la méme coupure que /„, 

 D'autre part, comme la fonction f{z) est impaire, ä chacun 

 des domaines ()„ et ^_n, symétriques resp. å cV^ et å (V_^ par 

 rapport å Taxe imaginaire, correspondra un feuillet, /„ resp. 



/_„, découpé suivant Taxe réel depuis — ^— - jusqu'å— cc . 



Enfin le domaine tVo du plan des z qui est extérieur ä 

 tous les domaines rV,, et <)„, (/7=il7l,±2, . . .), et qui estlimité 

 par la ligne n^ et ses symétriques par rapport aux axes des 

 coordonnées, sera représenté sur un feuillet /o muni de Tune 

 et Tautre des coupures en question. 



Puisque les domaines rV et rV couvrent dans leur ensemble 

 le plan des z une fois et une seule, la surface F se compose 

 des feuillets correspondants / et /. Pour construire cette 

 surface, on pourra procéder de la maniére suivante: 



Réunissons entré eux les feuillets 



■ • •' I—n' /— n+1' • • •> /O' • • •' /n» • ' * 



