A N:o 3) Sur une lonction enliere. 1.") 



14. Geci pose nous feroiis voir que sur tout rayon de 

 Vensemhle (L) la fondion F(z) tend vers une valeur déierminée 

 faisant partie de Vensemhle (E). D'uiie maniére plus precise, 

 si f,. est la limite de f,.(z) sur le rayon L en question, nous 

 ferons voir que F{z) tend sur ce rayon vers la limite 



(0= :e 



A = 



Écrivons å cet effet 



F(z) — 10= ^ akfk{z) — 2: tkttk + ^ akfk{z) — ^ f^^Ok, 



*;=0 A;=0 Wo+1 w„ + l 



d'ou suit 



(7) \F{z)-(o\£\ :Eakfk{z)- ^ mk\^-\ ^ akfk{z)\-\-\ ^ ikak\9 



ifc = ifc = Wo + 1 «o + l 



et prenons un nombre positif (V arbitrairement petit. Puisque, 

 en vertu de la condition (b) du n" 12, la serie ^ aj. est con- 



A = 



vergente, on pourra choisir Tentier m^ assez grand pour 

 qu'on ait 



(8) i a,<d 

 d'ou Ton tire 



(9) I 1" mk\< ^ ak<ö. 



A; = w7o+l k = ina + \ 



D'autre part on a sur le rayon L, d' apres ce qui a été dit 

 au n» 13, 



I I akfk{z)\<M 2 Ok 

 et par suite, d'aprés Tinégalité (8) 



(10) I 1 akfk{z)\<Må. 



k= Wo + l 



Puisque la fonction F^^^J^z) tend uniformément vers la valeur 



