A N:o 25) Sur quelques propriétés des fonctions monogénes. 3 



r, faisant partie de zico{r) et allant å rinfini, sur laquelle 

 f{z) teiid vers la valeur w' . Inversemeiit, s'il existe dans 

 le plan des z un chemin F ne sortant pas de Jfo(r) et allant 

 å rinfini sur lequel f{z) tend vers une valeur-limite déter- 

 minée w', le point w' est pour la branche cpj^w) un point 

 transcendant. 



3. Appelons, avec M. Val ir on, chemin de détermination 

 w' tout chemin du plan des z, ne sortant pas du domaine T 

 et allant å Tinfini, sur lequel la fonction w=f(z) tend vers 

 la limite w'. Nous avons établi dans notre Thése (p. 23) 

 le théoréme suivant, lequel jouera dans la suite un röle 

 important : 



(I). Si å ViniérieuT du domaine Ja>{r) Véquation f{z)=(a 

 est dépourvue de racines, ce domaine s'éiend å Vinfini et 

 renferme un chemin de déterminatioii w. 



De ce théoréme nous avons tiré le suivant {voir p. 24 

 de notre Thése): 



Étant donnés, å Vintérieur du cercle \w — Q3| = r, deux 

 points quelconques, Wq et w^, un chemin g qui tes joint et un 

 domaine arbitrairement mince t qui renferme ce chemin, et, 

 d^autre part, un element quelconque de la branche cpj{w) qui 

 est défini au point Wq, on pour ra toujours trouver å Vintérieur 

 de t un chemin g' reliant tes points Wq et w^, tel que iélé- 

 ment considéré puisse étre prolongé suivant ce chemin jusqu'au 

 point w^. 



4. Du théoréme (I) du n° précédent on peut tirer la 

 proposition suivante, qui fournit, en un certain sens, un 

 complément au celebre théoréme de M. P i c a r d , suivant 

 lequel une fonction monogéne f{z), uniforme dans un cer- 

 tain voisinage d'une singularité essentielle isolée2 = ^, prend 

 dans ce voisinage toute valeur donnée, sauf deux valeurs 

 au plus, en une infinité de points qui admettent 2=^comme 

 point-limite : 



Soit w=f(z) une fonction monogéne, uniforme dans le 

 voisinage d'une singularité essentielle isolée z = ^. S'il y a 



