4 Felix Iversen. (LYIII 



une valeur w = co que la fonction f{z) ne prenne pas dans un 

 certain voisinage du point z==t, il existe un chemin coniinu 

 tendant vers ce point sur lequel la fonction f{z) tend vers la 

 valeur w ^). 



En effet, si Ton suppose que la valeur « soit finie et 

 que la singularité essentielle soit å Tinfini, ce qui est loi- 

 sible, on pourra tracer dans le plan des z un cercle C assez 

 grand pour que, å Textérieur et sur la circonférence de ce 

 cercle, la fonction f(z) soit méromorphe et différente de w 

 en tout point å distance finie. Sur la circonférence de C 

 Texpression \f{z) — a)\ admet donc un minimum positif r. 

 D'autre part, d'aprés une propriété fondamentale de la 

 singularité essentielle, il y aura, å Textérieur de C, des points 

 z 011 \f{z) — oo\<r. Donc il existe aussi å Textérieur de 

 C un domaine Jwir) jouissant des propriétés (A), et, 

 puisque Téquation f{z)—o) y est dépourvue de racines, il 

 résulte du théoréme (1) que ce domaine s'étend å Tinfini et 

 renferme un chemin de détermination w. Notre proposition 

 est donc démontrée. 



5. Démontrons encore la proposition suivante, qui dé- 

 coule aussi du théoréme (I) et qui est, en un certain sens, 

 une généralisation du principe connu suivant lequel une 

 fonction monogéne, holomorphe dans un certain domaine, 

 atteint toujours sa plus grande valeur absolue sur le con- 

 tour de ce domaine: 



Si la fonction F{z) est holomorphe a Vintérieur et sur le 

 contour d'un domaine infini T, sauf peut-étre pour z = oo, et 

 si Vinégalité \F{z)\<M est vérifiée sur le contour de T, ou 

 bien cette inégalité subsiste encore å Vintérieur du domaine 

 T, ou bien ce domaine renferme un chemin atlant å Vinfini 

 sur lequel F (z) tend vers oo . 



') Gette proposition pourra étre en défaut si z=^ est point-liniite de 

 singularités essentielles de f(z). Un exemple simple est fourni par la fonc- 



tion e^^, dont les singularités essentielles z = (2n-{-l)— admettent c = oo 



comme point-limlte. En effet, cette fonction ne prend la valeur zéro en 

 aucun point régulier, et cependant il n'existe aucun ciiemin allant å Tinfini 

 sur lequel elle tendrait vers zéro. 



