A N:o 25) Sur quelques propriétés des fonctions monof»énes. 5 



Si rinégalité \F{z)\<M ne subsiste pas en tout point 

 de T, 011 pourra trouver dans ce domaine un point ou 



\F{z)\>M. On en conclut, en posant f(z)=-=r^, m=0 et 



/-=— que T renferme un domaine /Ja,{r) relatif å la fonc- 



tion f{z). Puisque /(z) ne s'annule pas dans z/w(r), il ré- 

 sulte du théoréme (I) que ce domaine s'étend å Tinfini et 

 qu'il renferme un chemin qui est de détermination zéro pour 

 la fonction f (z) et, par suite, de détermination oo pour F(z). 



Faisons observer que, dans lenoncé ci-dessus, nous 

 n'avons fait aucune restriction relative au contour du do- 

 maine T. Ce domaine pourra donc étre limité par un 

 nombre quelconque de contours, finis ou infinis. 



6. Pour ce qui suit, nous introduirons les notions de 

 domaine dlndéter minatio n de la fonction f(z) au point z=oo 

 relatif au domaine T ou r elatif au contour du 

 domaine T ^). 



Considérons å cet effet Tensemble des valeurs w que 

 prend la fonction w=f(z) dans la partie de T extérieure 

 au cercle \z\ = R. Cet ensemble forme, avec ses points-limites, 

 un ou plusieurs domaines connexes dans le plan des w. 

 Lorsque R croit indéfiniment, ces domaines se réduisent å 

 un ensemble de points, qui sera appelé domaine d'indéter- 

 mination de f (z) au point z=oo relatif au domaine T. Dé- 

 signons par D ce domaine d'indétermination. 



D'aprés cette definition, si Wq appartient au domaine 



D, il y aura dans T une infinité de points, z^, z^ , Zn, .... 



tendant vers Finfini et tels que lim / (rn) == f^o 5 ^^ inverse- 



ment, s'il existe dans T une suite de points jouissant de 

 cette propriété, le point Wq fera partie de D. Dautre part, 

 si w' est un point extérieur å D, il existera un nombre 

 positif £ tel qu'on ait |/(z) — M;'|>i en tout point de T ex- 

 térieur å un certain cercle \z\=R. 



') La notion de domaine dindétermination d'une fonction monogéne 

 en un point critique a été introduite par M. Painlevé (Vo/rpar exemple 

 Notice sur ses travaux scientifiques, Paris 1900, p. 17). 



