AN:o2ö) Sur quelques propriétés des lonctions monogcnes. 7 



Tout point siiué sur la frontiére du domaine D falt parlie 

 du dumaine d. 



Mais å cet effet il iious faut d'abord établir un lemme. 



8. Reprenons le domaine /lo}{r) du plan des z défini 

 au n° 1. Soit r-^ un nombre positif inférieur å r et soit 

 //ö,(r,) un domaine du plan des z jouissant des propriétés (A) 

 ou Ton aura remplacé r par r^. Nous allons démontrer que 



Si le domaine Ja{r) renferme un domaine /Imir^) infini, 

 le domaine dlndétermination D de f{z) relatif å /lo){r) com- 

 prend toule la circonférence \w — aj|=r. 



L'énoncé est évidemment vrai si le domaine Ja>{r) ad- 

 met une infinité de contours fermés. En effet, ceux-ci 

 auront alors z = oc comme point-limite, et å chacun d'eux 

 correspondra un certain nombre de tours complets de la 

 circonférence | w — w | = r. 



Admettons donc que le nombre des contours fermés de 

 /Joj{r) soit fini. Désignons par f un nombre quelconque 

 compris entré r^ et r et considérons les domaines z/cu(r) cor- 

 respondant å r et intérieurs å Jwir). Il est clair qu'un 

 domaine Jaiij) quelconque fera toujours partie d'un domaine 

 analogue correspondant å une valeur plus grande de f. 

 Puisque /lm{r) renferme, par hypothése, un domaine infini 

 ^co(rj), il renferme donc aussi un domaine /la,{r) qui s'étend 

 å rinfini. 



Maintenant deux cas peuvent se presenter: ou bien il 

 existe dans /la>ir), pour toute valeur r entré r^ et r, une 

 infinité de domaines finis ^a,(r), ou bien il n'y en a qu'un 

 nombre limité dés que f est egal ou supérieur å un certain 

 nombre r'. 



Dans le premier cas il existe dans Ja){r), quelque petite 

 que soit la différence /• — r, une infinité de lignes fermées 

 dont chacune correspond å un certain nombre de tours 

 complets de la circonférence | m; — <»|=r, et, puisque ces 

 lignes sont extérieures les unes aux autres et admettent 

 r = oo comme point-limite, il s'ensuit bien, d'aprés la defi- 

 nition du domaine d'indétermination D, que ce domaine 

 comprend tout point de la circonférence | m; — a\ = r. 



