A N:o 25) Sur quelques propriétés des fonctions nionogcnes. 9 



entourant le domaine A' mais ne rencontraiit pas le do- 

 maine infini /lQ,{r'). D'autre part le module \f(z) — co | 

 restera sur le contour de J' inférieur å un certain nombre 

 r" compris entré r' et r. 



Puisque |/(r) — w'\y>i: pour \z\>R, Téquation /(z)=m;' 

 n'admet qu'un nombre fini n de racines sur les contours 

 de Ja){r) qui sont extérieurs å J'. Entourons ces racines 

 de cercles xj, xg, •••, xn, extérieurs les uns aux autres et as- 

 sez petits pour que, sur leurs circonférences, le module 

 |/(z) — w'\ soit inférieur au plus petit des nombres t et 

 r — r". Ces cercles seront tous extérieurs å //'. De plus, 

 si 8 désigne le minimum de \f(z) — w' \ sur leurs circonfé- 

 rences, rinégalité |/(r) — W \>8 sera vérifiée sur tout le 

 contour de la portion de //a,(r) qui est extérieure å z/' et å 

 X;, X2, ..., xn. Donc cette méme inégalité subsistera aussi 

 å rintérieur de la portion considérée de Jcu{r). 



Ceci pose, prenons sur un contour infini de Joj{r) un 

 point z quelconque (ce point est nécessairement extérieur 

 å J') et prolongeons Télément correspondant de qij{w) (voir 

 n° 1) dans le sens positif suivant un chemin 5 qui contourne 

 n-\-l fois le point w—met qui reste compris entré les circonfé- 

 rences \w — w| =r et \w — (o\ =r — ö, ce qui est possible d'aprés 

 le dernier théoréme du n° 3. Le chemin correspondant ^ que 

 décrira le point z=cpj(w) sera intérieur å Jo}{r), mais extérieur 

 au domaine J', sur le contour duquel \f{z) — (o\<r"<r — 8, et 

 aux domaines /lw{r'). Chaque fois que le point w, en dé- 

 crivant le chemin S, passé par le cercle \w — w'\<8, le 

 point z de 2" traversera Tun des cercles x^, y.^, .,., xn, d'ou 

 il suit que, avant que le point w n'arrive au bout du che- 

 min S, le point z aura passé deux fois par un méme cercle 

 x^,. Si Ton relie alors les deux segments de ^ intérieurs å x,, 

 par un chemin compris dans ce méme cercle et dans Awir), 

 on aura un chemin fermé ^, intérieur å Jwir) mais extérieur 

 å //' et aux domaines Jw{r'), sur lequel la variation de Tar- 

 gument de {w — co) est égale å un multiple entier positif 

 de 2 51. 



Daprés ce qui a été dit plus haut, ^' ne saurait en- 

 tourer le domaine z/', et la fonction f{z) — w est donc ré- 



