10 Felix Iversen. (LVIII 



guliére å rintérieur de cette courbe. Il en résulte, d'aprés 

 le principe classique qui coiicerne la variation de 1'argu- 

 ment d'une fonction monogéne, qu'il existe ä Tintérieur de 

 2:' au moins un point ou /(z) prend la valeur w. Donc Z 

 devrait forcément entourer un domaine fini /la}(r') et par 

 suite aussi le domaine z/', puisque celui-ci renferme tous les 

 domaines finis /Jo}{r'). Nous sommes donc arrivés å une 

 contradiction, et notre lemme est par suite complétement 

 démontré. 



9. Nous pouvons maintenant facilement démontrer le 

 théoréme énoncé au n° 7. 



Faisons l'antithése qu'il existe sur la frontiére du do- 

 maine D un point « qui ne fasse pas partie du domaine d. 

 D'aprés ce qui a été dit au n° 6, ceci implique qu'il existe 

 å rintérieur de T, dans un voisinage quelconque du point 

 z — cc, des points z oii la valeur de / (r) est arbitrairement 

 voisine de co, tandis que, sur les portions du contour de T 

 qui sont extérieures å un cercle | r | = i? suffisamment grand, 

 le module |/(r) — w| est supérieur å un certain nombre po- 

 «itif «. 



TraQons un cercle |-|=i?'(>i?) tel que, sur les arcs 

 de sa circonférence qui sont intérieurs å T, la valeur de / (z) 

 soit distincte de w. Parmi les portions infinies de T qui 

 sont extérieures au cercle |z| = 7?', il y en a une au moins, 

 T', telle que le domaine d'indétermination de /(z) relatif å 

 cette portion comprenne la valeur oo. Sur le contour de 

 T le module |/(z) — cö| admet donc un certain minimum 

 positif r'. 



Tragons ensuite dans le plan des w un cercle | m; — ro| 

 =r(<r') tel quun certain are s de sa circonférence soit 

 extérieur au domaine D, ce qui est possible puisque le 

 point Cl» fait partie de la frontiére du domaine D et que 

 celui-ci constitue un ensemble fermé de points. 



Ceci pose, considérons les domaines z/o-(/) qui sont in- 

 térieurs å T' {voir p. 2). Puisque le point w fait partie 

 du domaine d'indétermination de /(z) relatif å T", il existe 

 å rintérieur de T, dans un voisinage quelconque du point 

 z=oo, des points z appartenant a Tun de ces domaines 



