AN:o25) Sur quclques proprlétés des fonctions mono^cnes. 11 



Ja){r). Il doit donc exister dans T' soit une iiifinité de 

 domaines finis Ja>0'), soit un domaine infini JmO') au moins. 



Or la premiére de ces éventualités est impossible, puis- 

 qu'au contour d'un domaine fini Joj{r) correspond un ou 

 plusieurs tours complets de la circonférence \w — a)\ = r, 

 d'oii il suit que le domaine D devrait comprendre toute 

 cette circonférence, contrairement å ce que nous avions 

 admis. Donc il existe un domaine Ja)(r) infini. 



Prenons un nombre r^ (< r) tel qu'un certain are s^ de la 

 circonférence \w — co\=i\ soit extérieur å D. Par le méme 

 raisonnement que plus haut on conclut qu'il y a dans T 

 un domaine infini //co(ri) au moins. Considérons Tun de 

 ces domaines //wir-j} et le domaine Joj{r) qui le renferme. 

 D'aprés le lemme du n" précédent, le domaine d'indétermina- 

 tion relatif a ce domaine /Ja,{r), et par suite aussi le do- 

 maine D, devrait comprendre toute la circonférence |u; — co| 

 =7". Nous nous heurtons ainsi å la méme contradiction 

 que dans la premiére hypothése, et notre proposition est 

 donc démontrée. 



10. Cette proposition peut étre complétée par la sui- 

 vante: 



S"z7 existe une valeur a faisant pariie de D, mais ex- 

 térieure å d, que la fondion f{z) ne prend qu'en un nombre 

 fini de points du domaine T, ce domaine renferme un che- 

 min de détermination co^). 



La demonstration est immédiate. En effet, il suit de 

 rhypothése qu'on peut choisir un nombre R assez grand 

 pour que la fonction f{z) soit différente de m dans les por- 

 tions de T extérieures au cercle |z| = /?, et que le module 

 \f(z) — O) I reste supérieur å un certain nombre positif r' sur 

 le contour de chacune de ces portions. Puisque m falt 

 partie de D, il y a d'autre part dans le domaine T, å 

 Textérieur dudit cercle, des points z oii le module |/(z) — öj | 

 est inférieur å tel nombre r qu'on voudra. En prenant 



^) Si le point co nest pas extérieur h d, le tliéoréme peut étre en 

 défaut. 



