12 Felix Iversen. (LVIII 



r<r', 011 voit donc que le domaine T renferme un domaine 

 /la,{r) qui est extérieur au cercle |;|=i?, et, puisque Téqua- 

 tion f(z)=oi y est dépourvue de racines, ce domaine s'étend 

 å rinfini et renferme un chemin de détermination w, d'aprés 

 le théoréme (I) du n° 3. 



11. En serrant les hypothéses on pourra préciser un 

 peu les resultats précédents. Appelons, pour abréger, un 

 ensemble fermé de points simplement connexe s'i[ est continu 

 et si, d'autre part, deux points quelconques extérieurs å 

 cet ensemble peuvent étre reliés par un chemin entiérement 

 extérieur å ce méme ensemble. En conservant les nota- 

 tions précédentes, on conclut du théoréme du n° 7: 



Si le domaine d se compose d^un nombre limité d'en- 

 sembles simplement connexes distincts, le domaine D ou bien 

 se confond avec d, ou bien comprend tout le plan. 



Dans le cas simple oii d se réduit å un seul point, 

 c'est-å-dire ou la fonction f (z) tend vers une limite déter- 

 minée Wq sur le contour de T lorsque z s^éloigne vers Tin- 

 fini, il suit de ce théoréme que f (z) ou bien tend unifor- 

 mément vers Wq dans le domaine T, ou bien y prend, å 

 une distance aussi grande qu'on voudra de Forigine, des 

 valeurs arbitrairement voisines d"une valeur donnée quel- 

 conque. Ceci résulte d'ailleurs aussi d'un théoréme établi 

 récemment par M. L i n d e 1 ö f ^). 



De la proposition du n° précédent il résulte de plus 

 que, si f(z) tend vers Wq sur le contour de T, sans tendre 

 uniformément vers w^ å Tintérieur de T, et s'il y a une 

 valeur (o{^Wq) que f(z) ne prend qu'en un nombre fini de 

 points de T, ce domaine renferme un chemin de détermi- 

 nation (O. 



Si, en particulier, le domaine T est d'un seul tenant 

 au voisinage du point å Tinfini (voir n° 6), le domaine D 

 sera aussi d'un seul tenant. Dans ce cas, le théoréme pré- 

 cédent nous apprend que, si le domaine d se compose de 



') Ernst Lindelöf: Sur un principe general de VAnalyse et ses 

 appUcations å la théorie de la representation conforme, Acta Soc. Se. Fenni- 

 cae, Tom. XLVI, 1915, p. 9. 



