AN:o25) Sur quelques propriétés des fonctions monogénes. 13 



deux ou plusieurs ensembles simplement connexes distincts, 

 le domaiiie D compreiid tout le plan. Dans le cas simple 

 ou le domaine T n'admet qu'un seul contour sm' les 

 branches duquel la fonction / (z) tend vers des limites diffé- 

 rentes, ce resultat se déduit d'un autre théoréme de M. 

 Lindelöf 1). 



12, En se servant de la fonction modulaire, M. Lin- 

 de 1 ö f a déduit des resultats cités plus haut un théoréme 

 plus precis 2), d'aprés lequel une fonction monogéne /(z) qui 

 est méromorphe dans un domaine infini T, limité par un 

 seul contour infini, et qui converge vers des limites diffé- 

 rentes sur les deux branches de ce contour, prend å l'in- 

 térieur du domaine toute valeur donnée en une infinité de 

 points, sauf peut-étre deux valeurs au plus. 



En nous appuyant sur ce théoréme nous pouvons dé- 

 montrer le suivant: 



Si f (z) est une fonction monogéne, méromorphe å Vintérieur 

 et sur la frontiére dun domaine infini T limité par un seul 

 contour, et si D et d sont les domaines d'indétermination de 

 f{z) au point z=cc relatifs au domaine T et å son contour, 

 il existe deux valeurs au plus, faisant partie de D mais ex- 

 térieures å d, que la fonction f (z) ne prend qu'en un nombre 

 fini de points de T. 



Il suit d'abord de la proposition du n° 10 que, s'il 

 existe deux de ces valeurs exceptionnelles, oi^ et »2» le do- 

 maine T renferme deux chemins r^ et r^ de détermination 

 «0| et W2 respectivement. En appliquant maintenant le 

 théoréme de M. Lindelöf rappelé ci-dessus å la portion 

 Ti de T limitée par Tj et Ta et située å Fextérieur d'un 

 certain cercle, on conclut que f (z) prend toute valeur don- 

 née, sauf deux au plus, en une infinité de points de T^. 

 Mais, puisque eui et C02 sont par hypothése des valeurs ex- 

 ceptionnelles, f{z) y prend donc toute autre valeur, doii 

 suit lexactitude de notre assertion. 



^) Loc, cit. 



*) Loc. cit. p. 13. 



