AN:o2ö) Sur quelques jiropriétés des fonctions monogénes. 15- 



De ce qui précéde on conclut qiie, sur tout contour 

 infini de J.„{r), la fonction /(r) teiid vers une valeur dé- 

 terminée, et que c'est Tensemble de ces valeurs et de leurs 

 points-limites qui constitue le domaine d. 



Considéroiis maintenant un are quelconque Sq de la 

 circoiiférence \w — co\=r. Nous ferons voir que cet arc^ 

 quelque petit qu'il soit, comprend nécessairement un point 

 extérieur au domaine d. 



Admettons un moment que tout point de Sq appartienne a 

 d. D^aprés ce qui précéde il existerait donc un contour 

 infini yi de Jw{r) sur lequel f(z) tend vers une valeur fai- 

 sant partie de Farc Sq et distincte de ses extrémités. Sur 

 ce contour y^ on peut donc trouver un segment fini (t^ tel 

 que les valeurs qu'y prend f{z) remplissent une certaine por- 

 tion Sj de Sq. Puisque tout point de Sj fait partie de d, 

 on pourra ensuite trouver un contour infini 73» autre que 

 y-^, sur lequel f (z) tend vers une valeur faisant partie de 

 Tarc Sj et distincte de ces extrémités, et sur ce contour 72 

 un segment a^ auquel correspond une certaine portion s^ 

 de Sg. A Farc Sg correspondent ainsi deux arcs distincts 

 du contour de /^mir), å savoir a^ et une certaine portion du 

 segment g^^. Gette conclusion peut étre répétée un nombre 

 arbitraire de fois, d'oii suit qu"il existe un are de la cir- 

 conférence \w — oi\=r auquel correspond un nombre arbi- 

 trairement grand d'arcs distincts du contour de z/n,(/-). Or 

 cette conclusion implique une contradiction, puisque nous 

 avons vu que /(::) ne saurait prendre une valeur donnée de 

 la circonférence \w — co\=r qu^en n points au plus du con- 

 tour de /foj(r). 



Donc Tensemble d est bien partout discontinu sur la 

 circonférence \w-~(a\ = r, et notre théoréme est par suite 

 dém.ontré. 



On voit que, si le domaine D ne comprend pas tout 

 le cercle \w — wl-^r, il renfermera un nombre fini ou infini 

 de points, suivant que le nombre des contours infinis du 

 domaine /Ja>{r) est fini ou infini. Il sensuit en parti- 

 culier, que 



