16 Felix Iversen. (LVIIl 



Si le domaine Jmir) rCadmet qiCun seul contour infini, 

 le domaine D oii Men comprend tout le cercle \w — co|^r, ou 

 bien se réduit å un seul point de sa circonférence. 



15. A Taide de la théorie de la representation con- 

 forme, la proposition établie au debut du n° précédent 

 peut étre généralisée comme il suit: 



Si la fonction f{z) est méromorphe å Vintérieur et sur 

 le contour d'un domaine infini T et si å tout point du con- 

 tour de T correspond, en vertu de la relation w = f{z), un point 

 dune courbe analytique simple fermée S du plan des w, 

 tandis qu'å tout point intérieur å T correspond un point in- 

 térieur å S, le domaine D ou bien se confond avec Vensemble 

 des points situés å Vintérieur de S et sur cette courbe, ou 

 bien se réduit å un ensemble partout discontinu de points de 

 la courbe S ^). 



La courbe S peut évidemment aussi s'étendre å linfini. 

 Alors on suppose qu a tout point intérieur å T correspond 

 un point situé d'un coté déterminé de S. 



16. Signalons enfin quelques applications simples du 

 théoréme précédent aux fonctions entiéres qui peuvent étre 

 utiles pour Tétude de leurs fonctions inverses. 



Soit w = f{z) une fonction entiére et prenons comme 

 courbe S une droite du plan des w, soit Taxe réel. Toutes 

 les courbes du plan des r oii /(r) est reelle s'étendent å 

 rinfini en deux directions, puisque f (z) ne devient infinie 

 pour aucune valeur finie de z, et divisent par suite le plan 

 des z en domaines (T) satisfaisant aux conditions du théo- 

 réme précédent. De deux domaines (T) contigus Tun cor- 

 respond a la moitié supérieure, lautre å la moitié inférieure 

 du plan des w. Sur chaque branche infinie du contour 



') Remarquons que, pour que cette assertion soit vraie, il ne suffit 

 pas de supposer que le domaine d se confonde avec S et qu'å tout point 

 intérieur ä T corresponde un point intérieur ä S. Gest ce que montre par 

 exemple la fonction w=^e^, si Ton prend pour T le domaine compris entré 



Taxe imaginaire et la courbe a- ^ — - , ^ (-=^-^4-'y)- ^ci les domaines rf 



et D se confondent tous deux avec la circonférence iyk=l. 



