Soient /è, /i, /2, • • -, ^„ des fonctions données des variables x, y^ y', analytiques et 

 régulières pour chaque système de valeurs de ces variables que nous aurons à considérer. 

 Nous allons envisager le problème de trouver l'extremum de l'intégrale 



//., 



dans un champ comprenant toutes les lignes joignant deux points fixes et donnant aux 

 intégrales 



/, = 1 /; dx, 1^ == j /i dx,---, I — \f\^ dx 



des valeurs déterminées. 



Soient /.,, à.^, • • -, X^ des nombres fixes, d'ailleurs quelconques, c une extrémale re- 

 lative à la fonction 



Pq un point fixe de c, P le foyer conjugué de P^ sur c relatif à notre problème, et 

 Pi-, -F2, • ■ •; P„ + \ les n-\-\ premiers foyers conjugués de P« sur e relatifs au problème de 

 l'extremum libre de l'intégrale 



U'dx. 



Nous supposerons vérifiées les hypothèses suivantes: 



1) La courbe c n'est extrémale par rapport à aucune combinaison linéaire des fonctions 

 /1 j /2 5 •••,/„ • 



2) Les foyers P, , P2, ..., P„_^.^ existent tous. 



3) La condition de Legendre relative à la fonction f est remplie au sens strict depuis 

 Po jusqu'à P„_f.i, limites comprises. 



Dans ces conditions nous montrerons que le foyer P existe toujours et ne peut jamais 

 se trouver au delà du point P„ ■ 1 • 



