4 J. W. Lindeberg. 



Dans notre Mémoire „Sur les maxima et minima d'une fonction de deux intégrales 

 définies" *) nous avons déjà démontré ce théorème pour le cas n = l; la théorie de la varia- 

 tion seconde va nous conduire très facilement au théorème général. 



Désignons par x^, y. les coordonnées du point iF*, et soit y = y(x,f/) l'équation de 

 Textrémale relative à la fonction f qui passe par le point P© et dont la tangente a en ce 

 point (i pour coefficient angulaire. Soit encore jWo la valeur de fi qui correspond à la courbe c, 

 et posons 



Désignons par SI, . la variation première de l'intégrale 



X.: 



f,- dx 



correspondant à la variation ày = z de y; choisissons enfin des nombres k^, Jc^, •••, k^^^ qui 

 ne soient pas tous nuls, de telle manière qu'on ait 



>i + i 



1=1 



pour »•=!, 2, •••, n, ce qui est évidemment toujours possible. Nous appellerons s la fonction 

 de X qui, dans chaque intervalle x._^ <a:^<^j, coïncide avec la fonction k.z. 



D'après la manière même dont nous avons déterminé les nombres h^, k^, •■•, ^„ + i, 

 il est évident que, si la variation ây de y est égale à ^, les variations premières des inté- 

 grales II, I2, •••, / prises entre les limites x^ et x^_^^ seront toutes nulles. En vertu de 

 notre hypothèse 1) on peut donc trouver une famille de courbes à un paramètre 



y = ij(x,a), 



joignant les points P« et P,^i et comprenant la courbe c, telle que, «0 étant la valeur de « 

 qui correspond à la courbe c, on ait 



^ (^, «0) = 2 . 



et que les intégrales 7i, I2, ■ • • , I„ prises suivant ces courbes entre les limites x^ et a;^ + i, 

 gardent des valeurs constantes. 



Considérons la variation seconde â^I de l'intégrale 1 prise suivant la courbe 

 yz=y{x,a) entre les limites ^o et x,^j. Malgré les discontinuités que peut présenter la 

 dérivée de Sy (=2) pour a; = a;, , x^, •••, x^, on voit facilement que la variation ô"^! est 

 donnée par l'intégrale 



*) Acta Soc. Se. Fennicae t. XLIV, p. 12. 



Tom. XLVl. 



