Note /--ur le problème iso2)énmétnqne. 



et, puisque la fonction à intégrer est identiquement nulle, il en résulte donc 



m = 0. 



Or, en vertu de notre hypothèse 3), l'existence d'une famille de courbes ayant les 

 propriétés précédentes serait impossible s'il n'y avait pas de foyer P ou si ce foyer se trou- 

 vait au delà du point -P, + i. Le théorème que nous avons énoncé est donc démontré. 



On peut donner à ce théorème une autre forme. 



Considérons le problème de l'extremum libre de l'intégrale /o, et soient c une extré- 

 maie relative à la fonction /À, Pq un point fixe de c et Pj, Pj, • • ■, P„ + i les n + 1 premiers 

 foyers conjugués de P^ sur c. Supposons enfin la condition de Legendre remplie au sens 

 strict sur c entre P, et P„^i, limites comprises. 



.'-'oit P' un point mobile de c. Pour que l'arc P^P' de c fournisse un extremum, il 

 faut que P' se trouve à gauche de P, (ou en ce point). Mais si l'on restreint le champ des 

 lignes variées par des conditions convenables, l'intervalle dans lequel doit rester P' pour que 

 l'extremum ait lieu peut devenir plus large. Le théorème que nous venons de démontrer 

 est équivalent à l'énoncé suivant: 



Quelles que soient les fonctions /": , /i, • • •■ /„, « la seule condition que c ne soit pas une 

 extrimale par rapport a une combinaison linéaire de ces fonctions, si Von impose aux courbes 

 variées la condition de dontier aux intégrales 



ifidx, j /irfx, • • -, \f„d:i 



les mêmes valeurs que l'arc P„ P' de Textrémale c, le segment de c sur lequel j)eut varier P' 

 sans que V extremum cesse d'avoir lieu ne s'étend jamais au delà du point P„ , j- 



N:o 3. 



