Introduction. 



On sait depuis longtemps que l'intérieur d'un domaine simplement connexe, dont la 

 frontière comprend plus d'un point, peut être représenté d'une manière conforme sur l'intérieur 

 d'un cercle, mais ce n'est que dans ces derniers temps qu'on est arrivé à traiter d'une ma- 

 nière générale le problème relatif à la correspondance entre les frontières des deux domaines '). 



Dans une Note récente ^) nous avons montré que cette dernière question peut être 

 rattachée au principe classique suivant lequel le module d'une fonction monogène qui est 

 régulière dans un domaine donné atteint toujours sa plus grande valeur sm' la frontière de ce 

 domaine. Toutefois il nous était nécessaire, dans cette courte Note, de nous borner au cas 

 d'un domaine limité par une ligne simple fermée, du genre de celles qui ont fait l'objet des 

 recherches de M. Camille Jordan ^). 



Dans le présent Mémoire nous allons reprendre le problème dont il s'agit dans toute 

 sa généralité, et nous allons faire voir que le principe élémentaire dont nous venons de parler 

 permet d'établir très facilement les résultats obtenus jusqu'ici, et de les préciser et compléter 

 sur certains points. 



La première partie de notre Mémoire renferme différentes applications analytiques du 

 principe en question, ainsi que certains théorèmes qui s'y rattachent, mais dont la démonstra- 

 tion exige l'emploi de la fonction modulaire. Dans la seconde partie nous appliquerons les 

 résultats obtenus à la théorie de la représentation conforme. 



') Voir à ce sujet: 



C. Carathbodory : Über die gegenseitige Beziehung der Ränder bei der konformen Abbildung des Inneren 

 einer Jordanschen Kurve auf einen Kreis (Mathematische Annalen, t. 73, 1913). Über die Begrenzung einfach 

 zusainmenhängender Gebiete (ibidem). 



E. Study: Konforme Abbildung einfach-zusammenhängender Bereiche (B.-G. Teubner, 1913). 



P. Koebe: Ränderzuordnung bei konformer Abbildung (Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissen- 

 schaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, 1913). Les résultats résumés dans cette Note ont 

 été développés dans un travail intitulé Abhandlungen zur Theorie der konformen Abbildung (Journal de Grelle, 

 t. 145, p. 177—223), qui a paru après que nous avions achevé la rédaction de notre Mémoire. 



W.-F. Osgood and E.-H. Taylor: Conformai transformations on the boundaries of their regions of 

 definition (Transactions of the American Mathematical Society, t. 14, 1913). 



') Ernst Lindelöp: Sur la representation conforme (Comptes rendus, t. 158, 26 janvier 1914). 



') Cours d'Analyse de l'École Polytechnique, tome I, 2"= édition, pages 90—100. 



