Ernst Lindelöf. 



I. Quelques théorèmes d'Analyse. 



1. Dans ce Memoire nous aurons à nous servir du principe auquel nous venons de 

 faire allusion sous la forme précise que voici: 



PRiNcrPE FONDAMENTAL. — Soient dans le plan de la variable complexe z un domaine 

 fini simplement connexe, T, et une fonction monogène, f{z), régulière à V intérieur de ce domaine 

 et vérifiant pour tout point 5 de son contour la condition suivante: 



(A) Le nombre positif t étant donné aussi petit qu'on le veut, Vinégalité 



\f(z)\<M + e, 



où M désigne une constante positive, est vérifiée dès que le point s, restant à V intérieur de T, se 

 trouve dans un voisinage suffisamynent restreint du point i. 



Dans ces conditions on aura en tout point z pris à Vintérieur du domaine T 



(1) \f{z)\£M, 



le signe d'égalité ne pouvant d'ailleurs se présenter que dans les cas où la fonction f{z) se réduit 

 à une constante. 



Rappelons en quelques mots la démonstration de ce principe. 



Soit G la limite supérieure du module \fiz)\ dans le domaine T. Par un raisonne- 

 ment bien connu, on démontre qu'il existe, à rintérieur ou sur la frontière de T, au moins un 

 point P tel que la limite supérieure de \f{s)\ soit égale à G dans la portion de T comprise 

 dans un cercle quelconque ayant ce point comme centre. 



Admettons d'abord qu'il n'existe pas de ces points P à l'intérieur de T, où l'on aura 

 par suite \f{z)\-CG. La frontière de T comprend alors au moins un point tel que P, et 

 l'hypothèse (A) nous montre dès lors qu'on a G<.M. Dans ce cas on aura donc |/(2)|<M 

 pour tout point s pris à l'intérieur du domaine T. 



Supposons maintenant qu'il y ait à l'intérieur de T un point tel que P, et soit z^ son 

 affixe et r^ sa plus courte distance de la frontière de' T. Puisque la fonction f(z) est continue 

 au point z^, on aura d'abord \f{zQ)\ = G. D'autre part, en faisant z — Zo=^re'^(r<Zr^), la 

 formule de Cauchy nous donne 



1 r^" 



/(so) = 27 f(^o + rc"")d(p, 

 d'où il suit 



1 r^" 



G^i^\ \f(z, + re'')\df 



Puisque \f(z„-\-re"^)\ ne saurait dépasser la valeur G pour aucune valeur cp, on aura néces- 

 sairement I / (^o + re"'') I = G pour <; y <; 2 sr, sans quoi le second membre serait inférieur à G. 

 Donc le module \f{s)\ conserve une valeur constante dans le cercle \z — ZoKr^, et il s'ensuit 



Tom. XLVI. 



