Sur an principe général de V Analyse. 5 



que la fonction /(s) se réduit elle-même à une constante. En vertu de l'hypothèse (A), la 

 valeur absolue de cette constante est <,M, et l'on aura donc bien \J(2)\<;M à l'intérieur du 

 domaine donné. 



2. Dans un travail publié en commun avec M. Phragmén '), nous avons donné différentes 

 extensions du principe qui précède. Nous rappellerons ici la plus simple de ces extensions, 

 qui nous permettra dans la suite d'abréger certaines démonstrations. 



La fonction f{z) étant toujours régulière dans le dotuaine T, supposons que Vhijpolhese (A) 

 soit vérifiée pour les points J situés sur la frontière de ce domaine, sauf peut-être pour un nombre 

 fini de ces points, li, §21 • ■ •> ?«• 



Admetioyis en outre que le module \f{z)\ reste dans T au-dessous d'une limite finie M'. 



Dans ces conditions, le résultat (1) aura encore lieu en tout point z pris à V intérieur du 

 domaine donné. 



Puisque le domaine T est fini, le module du produit (;:— î,) (s — ïj) • • • (s — S,,/» 

 y aura un maximum fini 7v. Posons 



«»(^) = i (s - ?. ) (2 - ?2) • • • U - ?„) ; : • 



et considérons l'expression \ 



F{z)=it>{z)''f{2), V y 



a étant une constante positive. ^••--:.. j.'— "' 



Comme (li(z) <l dans le domaine T, on y aura \F(z)\^\f(z)\. En vertu de nos 

 hypothèses, l'inégahté | -F(s) ; < il/ + * sera donc vérifiée dans un voisinage suffisamment 

 restreint d'un point quelconque situé sur la frontière de T, excepté peut-être les points J,, 

 ?2,...,|„. Mais en ces points (P(z) s'annule, et, puisque par hypothèse [/(2) | < M' dans T, 

 l'inégalité précédente aura donc lieu aussi dans un voisinage suffisamment restreint de l'un 

 quelconque de ces points. 



Le principe fondamental nous apprend dès lors qu'on a à l'intérieur de T 



\F(z)\<M ou bien \f(z)\<-^^^, 



et, comme cette conclusion reste vraie quelque petit que soit a, il faut bien que le résultat (1) 

 ait lieu dans T. 



3. Voici maintenant dans quelles conditions nous allons nous servir du principe fon- 

 damental. 



Soit ß un domaine fini, limité par une seule ligne simple fermée ^) C, et soit f(s) une 



') E. Phragmén et Ernst Lindelöf: Sur une extension d'un principe classique de l'Anali/se et sur 

 quelques proprie'te's des fonctions monogènes dans le voisinage d'un point singulier (Acta Mathematica, t. 31). 



^) Nous dirons qu'un ensemble de points constitue une ligne simple, s'il existe une correspondance 

 bi-univoque et continue entre les points de cet ensemble et ceux d'un arc de cercle, un ensemble de points 

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