6 Ernst Lindelöf. 



fonction monogène, reguliere à l'intérieur de ce domaine et vérifiant en outre les conditions 

 suivantes : 



1» Elle est bornée dans le domaine ß, c'est-à-dire que son module \f(z)\ y reste 

 au-dessous d'une limite finie M. 



2° Si le point s du domaine Î2 est suffisamment rapproché de certains arcs (y) du 

 contour C, le module i / (s) | vérifie l'inégalité plus étroite 



l/(2)l<ff, 



a désignant une constante positive inférieure à M. 



Quant aux arcs (>'), nous admettrons cette dernière hypothèse: 

 3» Ou peut choisir (n — 1) transformations 



(2) ?=y^(0. s^V'vCO (»' = i,2,...,»i-i), 



donnant la représentation conforme du domaine -Q sur certains domaines simplement couverts 

 îii, Si^, . . ., S2u-i, de telle manière que chacune de ces transformations laisse invariant un 

 certain point 2„ pris à l'intérieur de ii, et que la portion commune ûo des domaines ß, ß,, 

 ...,/2„_i qui renferme ce point Sq soit limitée uniquement par des segments des arcs (y) et 

 de leurs transformés par les substitutions (2). 



Dons ces conditions, le module de la fonction f{s) vérifie au point z^ Vinégalité 



(3) i/(5„)r<M"-'(T. 



En effet, la substitution (2) transforme fis) en une fonction de C 



qui est régulière dans i2y, et dont le module est inférieur à M dans tout ce domaine et infé- 

 rieur à ff aux points qui sont suffisamment rapprochés des segments de son contour corres- 

 pondant aux arcs (y) du contour C. Puisque par hypothèse (/'v(so) = 2o, on aura d'ailleurs 



/»(^o) = /(^o)- 



On en conclut que la fonction 



F(O=-/(c)/,(.").../„_,(0) 



est régulière dans la portion commune îi„ des domaines i2, . '-',,.. ., ß,. _i, et que son module 

 est inférieur à M"^^a en tout point du domaine S>„ qui est suffisamment rapproché d'un 

 point quelconque de son contour. 



qui correspondent de la même manière aux points d'une circonférence complète, constitue ?me ligne 

 simple fermée. 



Nous supposons ici connues les propriétés des lignes simples et des domaines qu'elles limitent, en 

 renvoyant pour ces questions au Cours d'Analyse de M. Oamillk Jordan, au Mémoire de M. Brouwer: 

 Beweis des Jordanschen Kurvensatzes (Mathematische Annalen, t. 69, 1910) et aux Mémoires de M. Carathéo- 

 DORY cités au début. 



Tom. XLVI. 



