Sur un principe général de l'Analyse. 7 



En vertu du principe fondamental, l'inégalité \F{z)\ <^ M"~^a aura donc lieu en tout 

 point situé à l'intérieur du domaine îio- Or cette inégalité se réduit pour z = So au résultat 

 cherché (3). 



Considérons en particulier le cas, qui interviendra souvent dans la suite, où le domaine 

 Si est constitué par un cercle C de centre ^q dont on aura enlevé certaines portions par des 

 coupures, lesquelles joueront ici le rôle des arcs (y). Admettons d'ailleurs que le domaine S* 

 (couvert de hachures dans la figure ci-jointe) renferme intérieurement le point z^- 



Soit ^B le plus grand parmi les arcs que les coupures (y) 

 interceptent de la circonférence C. En prenant l'entier n assez grand 

 pour que la n''"'"" partie de cette circonférence soit inférieure à AB, 

 on pourra choisir comme substitutions (2) les n — l rotations suivantes 

 autour du point Sq: 



i-Zo = e'^{z-2„) (v=l,2 v-1). ^ 



En effet, on voit immédiatement que, dans ces conditions, tout point 



de la circonférence C sera extérieur à l'un au moins des domaines i3, IJ,, . . ., i3„_i, d'où 

 il suit que la portion commune de ces domaines qui renferme le point s^ est limitée unique- 

 ment par certains segments des coupures (y) et de leurs transformées par les rotations 

 considérées'). 



4. Après ces généralités, nous allons déduire de notre principe un théorème qui joue 

 un rôle important dans différentes branches de l'Analyse. Pour mieux faire ressortir l'idée de 

 la démonstration, nous nous placerons d'abord dans des conditions aussi simples que possible''^). 



Soit f{z) une fonction monogène de la variable s = a -\-re"'' qui est régulière à V intérieur 

 du domaine T défini par les inégalités 



(4) 'Pi^<P<(Pi, O^r^R, 



et continue encore sur son contour, excepté peut-être le point a. 



Si cette fonction tend vers une même limite w lorsque z tend vers a suivant le rayon 

 (p = (fi ou suivant le rayon <f' = <Pi, et si elle est bornée dans le domaine T, elle tendra uni- 

 formément vers M dans V angle 9'i^9'^9>2i ^^ ^orle quelle sera continue encore au point z = a. 



Si, au contraire, la fonction f(z) tend sur les rayons en question ve^-s des limites déter- 

 minées mais différentes entre elles, elle ne saurait être bornée dans le domaine T. 



Si ce théorème est démontré pour une certaine valeur de l'angle (p2 — fp\, on l'étend 

 immédiatement à une autre valeur quelconque de cet angle par une substitution de la forme 



') Sous une forme différente, le procédé dont nous nous servons ici avait déjà été utilisé par d'autres 

 auteurs, notamment par M. Painlevé dans sa Thèse : Sur les lignes singulières des fonctions analijiiques, page '29. 



') On peut aussi établir ce théorème en faisant la représentation conforme du domaine T sur un 

 cercle, puis en appliquant la formule de Poisson. Foir par exemple le travail de l'auteur: Mémoire sur certaines 

 inégalités dans la théorie des fonctions monogenes et sur quelques propriétés nouvelles de ces fondions dans le voisi- 

 nage d'un point singulier essentiel (Tome XXXV de ce Recueil). 



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