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f — a = (s — o)''. Sans restreindre la généralité, nous pouvons donc supposer qu'on ait 



Admettons d'abord que f(z) tende vers la même limite û) sur les rayons (p = <f, et 

 (jP = (jP2- Le nombre positif e étant donné, nous pouvons alors déterminer un nombre JÎ£(< 2?) 

 tel que, si sur les rayons en question on découpe des segments a A et a B de longueur Rs, l'iné- 

 galité |/(s) — «!<« sera vérifiée pour tout point de ces segments, excepté le point a. Pre- 

 nons à l'intérieur de T un point quelconque 2, compris dans le cercle \3 — a\<C^R^, et, de Sq 

 comme centre, traçons une circonférence C qui passe par le point a. Cette circonférence dé- 

 coupe du domaine T une portion Si, limitée par deux segments 

 rectilignes a« et aß, faisant respectivement partie des segments 

 a A et aB, et l'arc « /S de la circonférence C. 



La somme des angles a^n« et as^ß étant égale à 2är — 

 2{<P2 — f\) et, par suite, supérieure à sr, l'un au moins de ces 

 angles dépassera " . Il s'ensuit que, si l'on fait tourner le domaine 

 Si trois fois de suite autour du point s„, chaque fois de l'angle "> 

 et si l'on désigne par /i,,i22,iÎ3 les domaines ainsi obtenus, la 

 portion commune Si,, de Si, Si^, Si.^,Sij sera située tout entière à l'intérieur de C et, par suite, 

 limitée uniquement par certaines portions des segments au et aß et de leurs transformés par 

 les rotations considérées. 



En vertu de nos hypothèses, la fonction l{z) — u) est régulière dans le domaine Si, et 

 son module y reste au-dessous d'une limite finie M. D'autre part le module de cette fonction 

 est inférieur à « en tout point des segments au et aß, k l'exception du seul point a; mais 

 celui-ci restera, ainsi que tous ses transformés, à l'extérieur du domaine Si^. 



En appliquant à la fonction /(s) — » les considérations du n" 3, on trouve donc 



3 \ 



|/(so)-«|*<M'f ou bien [/(so)- « |< M***, 



et, puisque cette conclusion est valable pour tout point s„ compris dans le cercle | z — a | < ^ R^, 

 on voit bien que la fonction f{z) tend uniformément vers o) dans l'angle (pi<(f<<f2. 



Supposons maintenant que f{z) tende sur les rayons <p = (fi et (p = (f<2 vers des limites 

 différentes, m^ et m^, et considérons la fonction 



F(B)={fi2)-^^y. 



En vertu de nos hypothèses, cette fonction est réguhère dans le domaine T et continue encore 

 sur son contour, excepté le point a; de plus elle tend sur chacun des rayons considérés vers 



la limite (^^^^)'. 



Si la fonction f{z) était bornée dans T, il en serait de même de F{z), et, en vertu 

 de la première partie de notre théorème, cette dernière fonction devrait donc tendre unifor- 

 mément vers la limite r " ■ ~ ™ m (j^ns l'angle 9,<y<y2. Mais cela exige (lue f(s) y tende 



Tom. XL VI. 



